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corrigé epreuve 2002 : Nuage de points

Détails: Catégorie : Statistiques

1) $N=\frac{A-1970}{5}$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Ann\'ee A&1970&1975&1980&1985&1990&1995&2000\\\hline T\%&10&25&41&60&69&80&86\\\hline\end{tabular}$

2) Représentons le nuage de point de la série statistique (T,N)

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline N&0&1&2&3&4&5&6\\\hline T&10&25&41&60&69&80&86\\\hline\end{tabular}$

3) Calculons les coordonnées du point moyen G

on a $X_{G}=\frac{\underset{1}{\overset{7}{\sum}}\text{ }y_{i}}{n} =\frac{0+1+2+3+4+5+6}{7}=\frac{21}{7}=3$

on a $Y_{G}=\frac{\overset{7}{\underset{1}{\sum}}\text{ }y_{i}}{n} =\frac{10+25+41+60+69+80+86}{7}=\frac{371}{7}=53$

$G(3,53)$

4) Equation de la droite de régression de N en T par la méthode des
moindres carrés.

$D_{N/T}$ $x=\alpha y+\beta\qquad$ avec $\alpha=\frac {Cov(x,y)}{V(y)}$

$Cov(x,y)=\frac{\overset{7}{\underset{1}{\sum}}\text{ }x_{i\text{ } .\text{\ }}y_{i}}{n}-\bar{X}$ $\bar{Y}\qquad\qquad\beta=\overline {X\ \ }-\alpha\overline{Y\ \ }$

$Cov(x,y)=\frac{10\times0+1\times25+2\times41+3\times60+4\times 69+5\times80+6\times86}{7}-3\times53=\frac{1479}{7}-3\times53=52,3$

$v(y)=\frac{\underset{1}{\overset{7}{\sum}}\text{ }y_{i}^{2}}{n} -\overline{Y\ \ }^{2}=\frac{10^{2}+25^{2}+41^{2}+60^{2}+69^{2}+80^{2}+86^{2} }{7}-(53)^{2}=700$

$\Longrightarrow\alpha=\frac{52,3}{700}=0,07$

$\beta=\overline{X\ \ }-\alpha\overline{Y\ \ }=3-53(0,07)=-0,7$

$D_{N/T}$ : $x=0,07y-0,7$

5) Indiquer à partir de quelle année, on peut estimer que 95% des
entreprises de ce pays seront équipées en informatique.

Si T = 95 alors $N = 0,07\times(95) - 0,7 = 5,95$

donc N = 5,95 $\Longrightarrow A=5(5,95)+1970=1999,75$

donc on a A = 2000

95\% des entreprises de ce pays seront équipées en informatique à
partir de l'an 2000.

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