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Corrigé Epreuve 2004 : Variable aléatoire

Détails: Catégorie : organisation des données

$A$ est l'évènement «tirer 2 blanches»

$p(A)=\frac{1}{2}\times{\frac{2}{6}}\times{\frac{4}{6}}+\frac{1}{2} \times{\frac{4}{6}}\times{\frac{2}{6}}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$

2) $X$ est la variable aléatoire qui prend la valeur $+1$ si on obtient
deux boules de même couleur et $-1$ pour deux boules de couleurs distinctes.

$p(X=1)=p(A)+p(B)\qquad$ où $B$ est l'évènement
«tirer $2$ verts»

$p(B)=\frac{1}{2}\times{\frac{2}{6}}\times{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2} \times{\frac{4}{6}}\times{\frac{3}{5}}=\frac{7}{30}$

$p(X=1)=\frac{2}{9}+\frac{7}{30}=\frac{41}{90}$

$p(X=-1)=1{-}p(X=1)=\frac{49}{90}$

$E(X)=E(X)=(-{1})\times{\frac{49}{90}}+1\times{\frac{41}{90}}=\frac{-4} {45}$

$v(X)=(-1)^{2}\times{\frac{49}{90}}+1^{2}\times{\frac{41}{90}}-\left[ E(X)\right] ^{2}$

$v(X)=(-1)^{2}\times{\frac{49}{90}}+1^{2}\times{\frac{41}{90}}-\left[ \frac{4}{45}\right] ^{2}=\frac{49}{90}+\frac{41}{90}-\frac{16}{2025} =\allowbreak\frac{2009}{2025}=\allowbreak0,992\,$

et ${\sigma}(X)=\sqrt{\frac{2009}{2025}}=\allowbreak0,996\,$

$\sqrt{0.992\,10}=\allowbreak0.996\,04$

$Y$ suit une loi binomiale de paramètres $\frac{41}{90}$ et $5$

$p(Y=4)=5\times\left( \frac{41}{90}\right) ^{4}\times\left( \frac{49} {90}\right) =$

$p(Y=4){\approx}0,2$

$E(Y)=5\times{\frac{41}{90}}=\frac{41}{18}$

$V(Y)=5\times{\frac{41}{90}\times}\left( 1-\frac{41}{90}\right) =\allowbreak\frac{2009}{1620}$

${\sigma}(Y)=\sqrt{\frac{2009}{1620}}=\allowbreak1,114$

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