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Corrigé Epreuve 2000 : Equations differentielles homogenes du second degre (04 pts)

Détails: Catégorie : Equations différentielles

1. L'équation caractéristique est donc $r=i$ ou $r=-i$

Les solutions sont de la forme : $Y(x)=A$ . $\cos x$ + $B$ . $\sin x$ .

2. $f\left( x\right) =g\left( \frac{1}{x}\right) +x\left( \frac{-1}{x {{}^2} }\right) g^{\prime }\left( \frac{1}{x}\right)$

$=g\left( \frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x}g^{\prime }\left( \frac{1}{x} \right)$

$f"\left( x\right) =\frac{-1}{x {{}^2} }g^{\prime }\left( \frac{1}{x}\right) +\frac{1}{x {{}^2} }g^{\prime }\left( \frac{1}{x}\right) +\frac{1}{x^{3}}g"\left( \frac{1}{x} \right)$

$f"\left( x\right) =\frac{1}{x {{}^2} }g^{\prime }\left( \frac{1}{x}\right)$

3. a g vérifie (2) $\Longleftrightarrow \forall x\in \mathbb{R} ^{\ast }g"\left( x\right) =-\frac{1}{x^{4}}g\left( x\right)$

. f vérifie (1) $\Longleftrightarrow f"+f=0$

$\Longleftrightarrow \forall \in \mathbb{R} ^{\ast }\frac{1}{x^{3}}g"\left( \frac{1}{x}\right) +xg\left( x\right) =0$

en posant $X=\frac{1}{x}\Longleftrightarrow g"\left( X\right) =-\frac{1}{ X^{4}}g\left( X\right) =0$

b) $g"\left( x\right) =\frac{1}{x^{4}}g\left( x\right) \Longleftrightarrow \left[ xg\left( \frac{1}{x}\right) \right] "+\left[ xg\left( \frac{1}{x} \right) \right] =0$ $\forall x\in \mathbb{R} ^{\ast }$

donc $\ xg$ $\left( \frac{1}{x}\right) =A\cos x+B\sin x$ ; $\forall x\in \mathbb{R} ^{\ast }$

d'où $g\left( X\right) =\frac{1}{X}\left[ A\cos \frac{1}{X}+B\sin \frac{1 }{X}\right]$

puisque $\frac{1}{x^{4}}g\left( x\right) =-g"\left( x\right)$ , une
primitive de $x\longmapsto \frac{1}{x^{4}}g\left( x\right)$

sera la fonction $x\longmapsto -g^{\prime }\left( x\right)$

or $g^{\prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x {{}^2} }\left[ A\cos \frac{1}{X}+B\sin \frac{1}{X}\right] +\frac{1}{X}\left[ \frac{1 }{X^{2}}\left( -A\sin \frac{1}{X}+B\cos \frac{1}{X}\right) \right]$

$=\left( -\frac{A}{x {{}^2} }-\frac{B}{x^{3}}\right) \cos \frac{1}{x}+\left( -\frac{B}{X {{}^2} }-\frac{A}{X^{3}}\right) \sin \frac{1}{x}$

$=\frac{1}{X {{}^2} }\left[ -\left( A+\frac{B}{X}\right) \cos \frac{1}{X}+\left( \frac{A}{X} -B\right) \sin \frac{1}{X}\right]$

une primitive de $x\longmapsto \frac{1}{x^{4}}g\left( x\right)$ est $x\longmapsto \frac{1}{x^{ {{}^2} }}\left[ -\left( A+\frac{B}{X}\right) \cos \frac{1}{x}+\left( \frac{A}{X} -B\right) \sin \frac{1}{X}\right]$

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