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Corrigé Epreuve 2004 : Cube

Détails: Catégorie : Solide dans l’espace

$L$ centre de $ABFE$

$J$ milieu de $[AL]$

1) a) $f(A)=L$

$f(B)=J$

angle $\theta =\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AB}}}, \overrightarrow{{\mathit{LJ}}}}\right)$

$\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AB}}},\overrightarrow{{\mathit{LJ}} }}\right) =\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{BA}}},\overrightarrow{{ \mathit{JL}}}}\right)$

$\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{BA}}},\overrightarrow{{\mathit{JL}} }}\right) =\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{FE}}},-\overrightarrow{{ \mathit{FL}}}}\right)$

$\theta =\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{FE}}},\overrightarrow{{ \mathit{FL}}}}\right) -\pi$

$\theta =\frac{-{3\pi }}{4}$

rapport $k=\frac{\mathit{LJ}}{\mathit{AB}}$ avec $\mathit{AB}=1\mathrm{;} \mathit{LJ}=\frac{1}{4}AF=\frac{1}{4}\sqrt{2}$

$k=\frac{\sqrt{2}}{4}$

$f(A)=L$

$f(B)=J$

$f(E)=E^{\prime }$

$ABE$ rectangle isocèle en $A$ et direct et $f$ conserve les
configurations donc $LJE^{\prime }$ rectangle isocèle en $L$ et direct.

Donc $E^{\prime }$ milieu de $[LB]$

détermination de $f(F)$

Soit $K$ milieu de $[AB]$

évaluons $\frac{\mathit{LK}}{\mathit{AF}}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}= \frac{1}{2}\times {\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AF}}},\overrightarrow{{\mathit{LK}} }}\right) =\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AF}}},\overrightarrow{{ \mathit{EA}}}}\right)$

$\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AF}}}\text{,}\overrightarrow{{ \mathit{LK}}}}\right) =\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AF}}}, \overrightarrow{{\mathit{EA}}}}\right) -\pi =-{\frac{3\pi }{4}}$

ainsi $\frac{\mathit{LK}}{\mathit{AF}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ et $\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AF}}},\overrightarrow{{\mathit{LK}}}} \right) =-{\frac{3\pi }{4}}$

donc $f(F)=K$ avec $K$ milieu de $[AB]$

c)
$f(\Omega)=\Omega$ et $f(A)=L$

$\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega L}}} \right) =\frac{-{3\pi }}{4}(2\pi )$

d'autre part $\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{EA}}}, \overrightarrow{{\mathit{EL}}}}\right) =\frac{\pi }{4}(2\pi )$

donc $\left(\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega L}} \right)+\pi =\left(\overrightarrow{{\mathit{EA}}},\overrightarrow{{\mathit{EL }}}\right)(2\pi )$

donc ${\Omega },A,L$ et $E$ cocycliques

d'autre part $f(\Omega)=\Omega$ et $f(B)=J$
donc $\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega J}} }\right) =\frac{-{3\pi }}{4}(2\pi )$

or $\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AB}}},\overrightarrow{ {\mathit{AJ}}}}\right) =\frac{\pi }{4}(2\pi )$

$\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AB}}},\overrightarrow{{\mathit{AJ}} }}\right) =\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega B}},\overrightarrow{{ \Omega J}}}\right) +\pi (2\pi )$

donc ${\Omega },A,B$ et $J$ cocycliques

Construction de ${\Omega}$

${\Omega \in }C(ALE)$ et ${\Omega \in }C(ABJ)$ et ${\Omega }$ ${\neq }A$

${\Omega}$ est l'intersection de $C(ALE)$ et $C(ABJ)$ autre que $A$

d) Montrons que $({\Omega} A)\perp({\Omega} E)$

$\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega E}}} \right) =\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega L}}}\right) +\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega L}},\overrightarrow{{ \Omega E}}}\right)$

or $\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega L}}} \right) =\frac{\pi }{4}(\pi )$ car $\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega L}}}\right) =\left( \widehat{\overrightarrow{{ \mathit{EA}}},\overrightarrow{{\mathit{EL}}}}\right) (\pi )$

$\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega L}},\overrightarrow{{\Omega E}}} \right) =\left( \widehat{\overrightarrow{{\mathit{AL}}},\overrightarrow{{ \mathit{AE}}}}\right) =\frac{\pi }{4}(\pi )$

donc $\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega E}} }\right) =\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}(\pi )$

ainsi $\left( \widehat{\overrightarrow{{\Omega A}},\overrightarrow{{\Omega E} }}\right) =\frac{\pi }{2}(\pi )$

a) dans $\left( A,\overrightarrow{{\mathit{AB}}},\overrightarrow{{\mathit{AD} }},\overrightarrow{{\mathit{AE}}}\right)$ repère orthonormé direct

$A(0,0,0) \qquad B(1,0,0) \qquad D(0,1,0) \qquad E(0,0,1) \qquad C(1,1,0)$

$F(1,0,1) \qquad G(1,1,1) \qquad H(0,1,1) \qquad I\left( 1,\frac{1}{2} ,1\right) \qquad L\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$

$\overrightarrow{{\mathit{CL}}}\left( \begin{array}{r} -\frac{1}{2}\\ -{1} \\ \frac{1}{2}\\ \end{array} \right)$

$\overrightarrow{{\mathit{IH}}}\left( \begin{array}{r} -{1} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right)$

$\overrightarrow{{\mathit{IB}}}\left( \begin{array}{r} 0 \\ \frac{-{1}}{2} \\ -{1} \end{array} \right)$

$\overrightarrow{{\mathit{IH}}}\wedge \overrightarrow{{\mathit{IB}}}$ = $\left\vert \begin{array}{ccccc} \overrightarrow{{i}}\hfill & \overrightarrow{{j}}\hfill & \overrightarrow{{ k}}\hfill \\ \hfill \\ -1\hfill & \frac{1}{2}\hfill & 0\hfill \\ \hfill \\ 0\hfill & -\frac{1}{2}\hfill & -1\hfill \end{array} \right\vert \hfill$

$\overrightarrow{{\mathit{IH}}}\wedge \overrightarrow{{\mathit{IB}}}$ = $\left\vert \begin{array}{cccc} \frac{1}{2}\hfill & 0\hfill \\ \hfill \\ -\frac{1}{2}\hfill & -1\hfill \end{array} \right\vert \overrightarrow{i}$ {}- $\left\vert \begin{array}{cccc} -1\hfill & 0\hfill \\ \hfill \\ 0\hfill & -1\hfill \end{array} \right\vert \overrightarrow{j}$ + $\left\vert \begin{array}{cccc} -1\hfill & \frac{1}{2}\hfill \\ \hfill \\ 0\hfill & \frac{-1}{2}\hfill \end{array} \right\vert \overrightarrow{k}\hfill$

$\overrightarrow{{\mathit{IH}}}\wedge \overrightarrow{{\mathit{IB}}}=\frac{-1 }{2}\overrightarrow{{i}}-\overrightarrow{{j}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{k}}$

donc $\overrightarrow{{\mathit{CL}}}=\overrightarrow{{\mathit{IH}}}\wedge \overrightarrow{{\mathit{IB}}}$

$Aire(IHB)=\ \frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{{\mathit{CL}}}\right\Vert$ unités cm

$Aire(IHB)=$ $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}$

$Aire(IHB)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{6}}{2}$

$Aire(IHB)=\frac{\sqrt{6}}{4}$

$v(\mathit{BCIH})=\frac{1}{6}\left|{\overrightarrow{{\mathit{IC}}}.\left( \overrightarrow{{\mathit{IH}}}\wedge \overrightarrow{{\mathit{IB}}}\right)} \right|\mathit{uv}$

$v(\mathit{BCIH})=\frac{1}{6}\left|{\overrightarrow{{\mathit{IC}}}. \overrightarrow{{\mathit{CL}}}}\right|\mathit{uv}$

$\overrightarrow{{\mathit{IC}}}\left( \begin{array}{r} 0 \\ \frac{1}{2} \\ -{1} \end{array} \right)$

$\overrightarrow{{\mathit{CL}}}\left( \begin{array}{r} \frac{-1}{2} \\ -1 \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)$

$v(\mathit{BCIH})=\frac{1}{6}\left|{-1}\right|\mathit{uv}$

$v(\mathit{BCIH})=\frac{1}{6}\mathit{uv}$

$v=\frac{1}{3}A(\mathit{IBH})\times d(C,\mathit{BIH})$

$d=d(C,BIH)=$ $\frac{3v}{A(\mathit{IBH})}$

$d=\frac{3\left( \frac{1}{6}\right) }{\frac{\sqrt{6}}{4}}=\frac{3}{6} \times {\frac{4}{\sqrt{6}}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{ \sqrt{6}}{3}$

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