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Corrigé Epreuve 2001: Produit vectoriel ( 03,5 pts)

Détails: Catégorie : Produit vectoriel

1. a) Détermination de l'ensemble ( T )

$\overrightarrow{MC}\left( -\frac{1}{2}-x,-y-z\right)$ \ ; $\overrightarrow{ MD}\left( \frac{1}{2}-x,-y,-z\right)$ ; $\overrightarrow{ME}\left( -x,1-y,z\right)$

$\overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{MD}\left( 0,-z,y\right)$

$\left\Vert \overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{MD}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{ME}\right\Vert \Longrightarrow \sqrt{z {{}^2} +y {{}^2} }=\sqrt{x {{}^2} +\left( 1-y\right) {{}^2} +z {{}^2} }$

$\Longleftrightarrow x {{}^2 +1-2y=0$

donc $T$ : $\left\{ M\left( x,y,z\right) \text{ tel que }y=\frac{1}{2}x {{}^2} +\frac{1}{2}\text{ \ }z\in \text{ } \mathbb{R} \right\}$

c'est un parabolole de.

1. b) Détermination de $(\Delta )$

le plan $\left( 0,\overrightarrow{e_{2}}\overrightarrow{e_{3}}\right)$ a
pour équation $x=0$

or pour $x=0$ $\ \ y=$ $\frac{1}{2}$ sur $T$

donc $\left( \Delta \right)$ $(G)$ $=\left\{ \left( x,y,z\right) \text{ tels que }x=0,y=\frac{1}{2},z\in \mathbb{R} \right\}$

c'est la droite définie par $\left\{ \begin{array}{c} x=0 \\ y=\frac{1}{2} \\ z=k\text{ }k\in \mathbb{R} \end{array} \right.$

2. a) Comparaison des distance des points de $(T)$ au point $E$ et $\grave{a}$ la droite $(CD)$ .

Soit $M(x,y,z)$ un point de $(T)$ : on a $x {{}^2} +1-2y=0$ (1)

donc $EM=\sqrt{x {{}^2} +\left( 1-y\right) {{}^2} +z {{}^2} }=\sqrt{y {{}^2} +z {{}^2} }$ en utilisant (1)

De même $d\left( M,\left( CD\right) \right) -\frac{\left\Vert \overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{CD}\right\Vert }{\left\Vert \overrightarrow{CD}\right\Vert }$

Or $\overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{CD}\left( 0,-z,y\right)$ et $\left\Vert \overrightarrow{CD}\right\Vert =1$

donc $d\left( M,\left( CD\right) \right) =\sqrt{z {{}^2} +y {{}^2} }$

par suite $EM=d(M,(CD))$

2. b) Soit $M(x,y,z)$ appartenant $\grave{a}$ l'intersection de $(T)$ et du
plan $P:z=0$

$M$ est équidistant de $E$ et de $(CD)$ (d'après le 2.a) et
appartient $\grave{a}$ $P$ donc $M$ appartient $\grave{a}$ la parabole de
foyer $E$ et de directrice $(CD)$ .