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Corrigé Epreuve 1997 : Similitude directe (4 pts)

Détails: Catégorie : géométrie plane

$f:M\left( z\right) \longrightarrow M\left( z^{\prime }\right)$ tel que $z^{\prime }=f\left( z\right) =\left( 1+i\right) z+2$

1) $f$ est une similitude plane directe du plan complexe car étant de la forme $f\left( z\right) =az+b$ avec $a=1+i$

$b=2$

Déterminons les éléments caractéristiques.

* point invariant : $A$

$A\left( z_{0}\right)$ avec $z_{0}=\frac{b}{1-a}=\frac{2}{1-i-1}\frac{-2}{i}=2i$

$A\left( 2i\right)$

* angle de la similitude

$\arg \left( a\right) =\arg \left( 1+i\right) =\frac{\pi }{4}+2k\overrightarrow{u},k\in$ $\mathbb{Z}$

* rapport de la similitude

$\left\vert a\right\vert =\left\vert 1+i\right\vert =\sqrt{2}$

conclusion

$f$ est la similitude de centre $A\left( 2i\right)$ d'angle $\frac{\pi }{4}$ et de rapport $\sqrt{2}$ .

2) a) Construction de $M\prime$ $\grave{a}$ partir de $M$ .

$f\left( M\right) =M^{\prime }$ équivaut à $\left\{ \begin{array}{c} \left( \widehat{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM^{\prime }}}\right) = \frac{\pi }{4}\left( 2\overrightarrow{u}\right) \\ AM^{\prime }=\sqrt{2AM} \end{array} \right.$

b) nature du triangle $AMM$ '

$AMM\prime$ est triangle rectangle et isocèle en $M$ .

En effet : $M\left( z\right)$ $A\left( 2i\right)$ $M\left( z^{\prime }\right)$

$HA\left( 2i-z\right)$ $HA\left( -x,2-y\right)$

$MM^{\prime }\left( z-z^{\prime }\right)$ $MM^{\prime }\left( \left( 1+i\right) z+2-z\right)$

$MM^{\prime }\left( iz+2\right)$ $MM^{\prime }\left( -y+2;x\right)$

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MM^{\prime }}=\left( -x\right) \left( -y+2\right) +\left( 2-y\left( x\right) \right)$

$=xy-2x+2x-xy =0$

Donc $AMM\prime$ triangle rectangle isocele en $M$ .

3) Détermination de E

$M\left( z\right)$ $z=x+iy$

$M^{\prime }\left( z^{\prime }\right)$ $z^{\prime }=\left( 1+i\right) z+2$

$=\left( 1+i\right) \left( x+iy\right) +2$

$=x-y+2+i\left( x+y\right)$

$M\in E\Longleftrightarrow \left\Vert \overrightarrow{OM}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{OM^{\prime }}\right\Vert$

$\Longleftrightarrow \sqrt{x {{}^2} +y {{}^2} }=\sqrt{\left( x-y+2\right) {{}^2} +\left( x+y\right) {{}^2} }$

$\Longleftrightarrow x {{}^2} +y {{}^2} =x {{}^2} +y {{}^2} +4-2xy+4x-4x-4y+x {{}^2} +y {{}^2} +2xy$

$\Longleftrightarrow x {{}^2} +y {{}^2} +4x-4x+4=0$

$\Longleftrightarrow \left( x+2\right) {{}^2} +\left( y-2\right) {{}^2} -4-4+4=0$

$\Longleftrightarrow \left( x+2\right) {{}^2} +\left( y-2\right) {{}^2} =4$

$\Longleftrightarrow M\in C\left( \Omega \left( -2,2\right) ,2\right)$

E set le cercle de centre $\Omega \left( -2,2\right)$ et de rayon $2$

4) Détermination de F

$M\in F\Longleftrightarrow \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM^{\prime }} =0$

$\Longleftrightarrow x\left( x-u+2\right) +y\left( x+y\right) =0$

$\Longleftrightarrow x {{}^2} -xy+2x+xy+y {{}^2} =0$

$\Longleftrightarrow x {{}^2} +y {{}^2} +2x=0$

$\Longleftrightarrow \left( x+1\right) {{}^2} +y {{}^2} =1$

$\Longleftrightarrow M\in C\left( \Omega \left( -1,0\right) ,1\right)$

$F$ est le cercle $\Omega \left( -1,0\right)$ et de rayon $1$

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