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Corrigé Epreuve 1999 : Similitude directe (03 pts)

Détails: Catégorie : géométrie plane

a) on a : $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{AH_{1}}{AH}=\frac{AH}{AC}$

$\Longrightarrow AH_{1}=\frac{AH {{}^2} }{AC}=\frac{\frac{1}{4}AC {{}^2} }{AC}=\frac{1}{4}AC$

$\Longrightarrow H_{1}C=\frac{3}{4}AC$

d'où $\frac{H_{1}C}{H_{1}A}=\frac{\frac{3}{4}AC}{\frac{1}{4}AC}=3$

$\frac{H_{1}C}{H_{1}A}=3$

b) Si s est une similitude directe plane d'angle nul et plat qui transforme A en C

Soit $O$ le centre de $s$ alors $\left( \widehat{\overline{OA},\overline{OC}} \right) =0\left( \pi \right)$ donc $O$ appartient \`{a} la droite $(AC)$ privé de $A$ et $C\$

$\left\{ M\in P/MC=3MA\right\}$

$MC=3MA\Longleftrightarrow MC {{}^2} -9MA {{}^2} =0\Longleftrightarrow \left( \overline{MC}-3\overline{MA}\right) \left( \overline{MC}+3\overline{MA}\right) =0$

Soit $I$ le barycentre de $(C,1)(A,-3)$ et $J$ le barycentre $(C,1)(A,3)$

$\overline{MC}-3\overline{MA}=2\overline{MI}$ et $\overline{MC}+3\overline{MA }=4\overline{MJ}$

donc $MC=3MA\Longleftrightarrow \overline{MI}.\overline{MJ}$ donc $M$ est
sur le cercle de diamétre $[IJ]$ .

d'où $\left\{ M\in P/MC=3MA\right\}$ est le cercle de diamétre $[IJ]$

3) $\left( \widehat{\overline{\Omega A},\overline{\Omega C}}\right) =-\frac{ \pi }{3}\left( 2\pi \right)$ et $\Omega C=3\Omega A$

$\left( \widehat{\overline{\Omega A},\overline{\Omega C}}\right) =-\frac{\pi }{3}\left( 2\pi \right) \Longrightarrow \Omega$ appartient à l'arc
capable

$\Omega =\left\{ M\in \Im /\left( \widehat{\overline{MA},\overline{MC}} \right) =-\frac{\pi }{3}\left( 2\pi \right) \right\}$

$\Omega C=3\Omega A\Longrightarrow \Omega \in$ au cercle de diamétre $[IJ]$

donc $\Omega \in C\cap$ A

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