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Corrigé Epreuve 2003 : Homothétie, rotation et similitude

Détails: Catégorie : géométrie plane

1-a) G isobarycentre de A,B,C,D et E donc

$\overrightarrow{~GA}+\overrightarrow{~GB}+\overrightarrow{~GC} +\overrightarrow{~GD}+\overrightarrow{~GE}=\overrightarrow{~0}\qquad(1)$

or $\Omega$ milieu de $\left[ DB\right]$ et $~\left[ AC\right]$

ainsi $\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{G\Omega}$ et
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{G\Omega}$

en remplaçant dans la relation (1) on obtient

$4\overrightarrow{G\Omega}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{0}\qquad(2)$

d'où $G$ est barycentre du système $\left\{ (\Omega,4);(E,1)\right\}$

on a également $O$ milieu de $\left[ CE\right]$ donc $\overrightarrow {~GC}+\overrightarrow{~GE}=2\overrightarrow{GO}$

$(1)$ donne alors $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{G\Omega} +2\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$

or $J$ milieu de $\left[ \Omega O\right]$

donc $\overrightarrow{GA}+4\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$

d'où $G$ est barycentre du système $\left\{ (J,4);(A,1)\right\}$

b) $f$ est l'application du plan sur lui même associant à tout point
$M$ le point $M^{\prime}$ défini par:

$4\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}$

Déterminons d'abord l'ensemble des points M invariants par f noté $Invf$

$Invf=\left\{ ~M\in P~/~f(M)=M\right\}$

$f(M)=M\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow {MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{0}$

L'unique point vérifiant cette relation est $G$

$Invf=~\left\{ ~G\right\}$

Nature de $f$

$f(M)=M\prime\Longleftrightarrow4\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} +\overrightarrow{ME}$

$4(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GM^{\prime})}=5\overrightarrow{MG}$

$4\overrightarrow{GM^{\prime}}=-\overrightarrow{GM}$

$\overrightarrow{GM^{\prime}}=-\frac{~1}{~4}\overrightarrow{GM}$

$f$ est l'homothétie de centre $G$ et de rapport $-\frac{~1}{~4}$

On sait $4\overrightarrow{G\Omega}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow {0}\Longleftrightarrow\overrightarrow{G\Omega}=-\frac{~1}{~4}\overrightarrow {GE}$

donc $f(E)=\Omega$

De même $4\overrightarrow{GJ}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{GJ}=-\frac{~1}{~4}\overrightarrow{GA}$

$f(A)=J$

2) on a $\theta=\widehat{\left( \overrightarrow{OC},\overrightarrow {OD}\right) }$

et $r$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$

$r=r(O,\theta)$

$s=r\circ f$

a) $f=h(G,-\frac{~1}{~4})$

$\ f=r(G,\pi)\circ h(G,\frac{~1}{~4})$

donc $s=r\circ f=r(O,\theta)\circ r(G,\pi)\circ h(G,\frac{~1}{~4})$

$r(O,\theta)\circ r(G,\pi)$ est une rotation de centre un point $I$ et d'angle
$\theta+\pi$

$s=r(I,\theta+\pi)\circ h(G,\frac{~1}{~4})$

d'où $s$ est une simulitude directe d'angle $\theta+\pi$ et de rapport
$\frac{1}{4}$

b) Construction de $H$

$H=s(G)$ or $s(G)=r\circ f(G)$ et $f(G)=G$

donc $H=r(G)$

on en déduit que $OH=OG,$

$H$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $OG,$ $C(O,OG)$ .

on a aussi :

$\widehat{\left( \overrightarrow{OG},\overrightarrow{OH}\right) } =\theta=\widehat{\left( \overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}\right) }=\widehat{\left( -\overrightarrow{OG},\overrightarrow{OD}\right) } =\widehat{\left( \overrightarrow{OG},-\overrightarrow{OD}\right) }$

d'où $\overrightarrow{OH}$ et $\overrightarrow{OD}$ colinéaires et de
sens opposés

cela signie que $H$ est sur la demi droite $[DO)$

d'où $H=$ $C(O,OG)\cap\lbrack DO)$

construction de $L$

$L=s(A)=r\circ f(A)=r(J)$

$\Longleftrightarrow OJ=OL$ et $\widehat{\left( \overrightarrow {OJ},\overrightarrow{OL}\right) }=\theta\left[ 2\pi\right]$

de la même manière, on montre que $L=C(O,OJ)\cap\lbrack DO)$

c) $I$ est le centre de $s$

$s(G)=H$ $\Rightarrow\widehat{\left( \overrightarrow{IG},\overrightarrow {IH}\right) }=\theta+\pi+2k\pi$

or $\theta=\widehat{\left( \overrightarrow{OG},\overrightarrow{OH}\right) }$

donc $\widehat{\left( \overrightarrow{IG},\overrightarrow{IH}\right) }=\widehat{\left( \overrightarrow{OG},\overrightarrow{OH}\right) } +(2k+1)\pi$

d'où les points $I,G,O,H$ sont cocycliques

alors $I$ appartient au cercle circonscrits au triangle $OGH$

On a aussi:

$s(A)=L\Rightarrow\widehat{\left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow {IL}\right) }=\theta+\pi+2k\pi=\theta+(2k+1)\pi$

et $\widehat{\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OL}\right) }=\widehat{\left( \overrightarrow{OG},\overrightarrow{OH}\right) }=\theta$

donc $\widehat{\left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IL}\right) }=\widehat{\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OL}\right) } +(2k+1)\pi$

d'où $I$ appartient au cercle circonscrits au triangle $OAL$

$I$ est l'insection des deux cercles circonscrits aux triangles $OGH$ et $OAL$

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