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Corrigé Epreuve 2006 : Intérêt

Détails: Catégorie : Suites numériques

1. Montant à rembourser

$1562500+1562500\times\frac{20}{100}$

$=1562500+15625\times20$

$=1562500+312500=1875000F$

2. a)

$\cup _{1}=300000F$

$\cup _{2}=\cup _{1}-25000=300000F-25000F=275000F$

$\cup _{3}=\cup _{2}-25000=275000-25000=250000F$

b.

$\cup _{n+1}=\cup _{n}-25000F$ d'o\`{u} ( $\cup _{n}$ ) est une suite arithm%
étique de raison $r=-25000F$ et de premier terme

$\cup _{1}=300000F$

c)

$\cup _{n}=\cup _{1}+(n-1)\times (-25000)$

$\cup _{n}=300000-25000n+25000$

$\cup _{n}=325000-25000n$

$\cup _{n}=325000-25000n$

3. la somme prétée sera recouvrée lorsque la somme des $n$
premiers termes de la suite ( $\cup_{n}$ )sera égale à 1875000F.

le nombre n de mensualités nécessaires à ce recouvrement est
donc solution de l'équation:

$\cup _{1}+\cup _{2}+.......+\cup _{n}=1875000=\allowbreak 1875\,000$

$\cup _{1}+\cup _{2}+.......+\cup _{n}=\frac{n(\cup _{1+}\cup _{n})}{2}$

$\cup _{1}+\cup _{2}+.......+\cup _{n} =\frac{n(300000+325000-25000n)}{2}$

$\cup _{1}+\cup _{2}+.......+\cup _{n}= \frac{n(625000-25000n)}{2}$

$\cup _{1}+\cup _{2}+.......+\cup _{n}= n(625000-25000n)$

$\cup _{1}+\cup _{2}+.......+\cup _{n} = 312500-12500n^{2}$

L'équation permettant d'obtenir nombre n de mensualités est ainsi

-12500n $^{2}+312500n=1875000$ ou,

-12500n $^{2}+312500n-1875000=0$ ou encore,

$n^{2}-25n+150=0$

Le discriminant $\Delta$ de cette équation est

$\Delta=(25)^{2}-4\times150=625-600=25$

d'où $n_{1}=\frac{25-5}{2}=10$ et $n_{1}=\frac{25+5}{2}=15$

Le nombre de mois nécessaires pour recouvrer le prêt est de 10 mois.

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