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Corrigé Epreuve 2005 :Criquets pélerins

Détails: Catégorie : Suites numériques

Suite à l'invasion des criquets pélerins dans la zone du delta, la
direction de la protection des végétaux (DPV) lance sa campagne de lutte.

1) La DPV envisage de diminuer chaque jour la surfac infestée de 8 %.

Celle-ci était au départ de U $_{0}=2000$ (en hectare)

a) $\cup_{0}=2000ha$

$\cup_{1}=\cup_{0}-\frac{8}{100}\cup_{0}=2000-\frac{8}{100}\times 2000=2000-160=1840$

$\cup_{1}=1840$ $ha$

$\cup_{2}=\cup_{1}-\frac{8}{100}\cup_{1}=1840-\frac{8}{100}\times 1840=1692,8$

$\cup_{2}=1692,8$ $ha$

b) Soit $\cup_{n}$ la surface infestée restante n jours aprés le
début de l'opération et $\cup_{n+1}$ la surface infestée restante
$n+1$ jours aprés le début de l'opération.

On a: $U_{n+1}=\cup_{n}-\frac{8}{100}\cup_{n}$

$U_{n+1}=\left( 1-0,08\right) \cup_{n}\qquad$

$U_{n+1}=0,92\cup_{n}$

d'où la suite $\cup_{n}$ est une suite géométrique de raison q =
$0,92$ et de 1 $^{er}$ terme $\cup_{0}=2000$ .

Ainsi, le terme général $\cup_{n}$ s'écrit

$\cup_{n}=\left( 0,92\right) ^{n}\cup_{0}$

$\cup_{n}=2000\times\left( 0,92\right) ^{n}$

c) Le nombre de jours nécessaires pour traiter la moitié de la surface
infestée est le plus petit entier naturel n tel que

$\cup_{n}\leq\dfrac{1}{2}\cup_{0}$ soit

$\cup_{n}\leq1000$ ou encore $\left( 0,92\right) ^{n}\times2000\leq1000$ ce
qui donne $\left( 0,92\right) ^{n}\leq\frac{1}{2}$

et comme la fonction $\ln$ est croissante on a:

$\ln\left( 0,92\right) ^{n}\leq\ln(\frac{1}{2})$ ce qui fait $n\ln\left( 0,92\right) \leq-\ln2$ et par suite

$n\geq\frac{-\ln2}{\ln(0,92)}$ car $\ln(0,92)<0$

$n\geq\frac{-\ln2}{-0,083}$

$n\geq\frac{0,7}{0,083}$ , $n\geq8,75$ d'où $n=9$

Le nombre de jours nécessaires pour traiter la moitié de la surface
infestée est de 9 jours.

2) La DPV a utilisé au premier jour de lutte P $_{1}=1000$ (en litre) de
pesticide et décide d'ajouter chaque jour 400 litres de plus que le jour précédent.

a) $P_{1}=1000$

$P_{2}=P_{1}+400=14000$

$P_{3}=P_{2}+400=1800$

b) Soit $P_{n}$ la quantité de pesticide utilisée le n $^{ieme}$ jour
et $P_{n+1}$ celle utilisée le $\left( n+1\right) ^{eme}$ jour,

on a: $P_{n+1}=P_{n}+400$ d'où la suite $(P_{n})$ est une suite
arithmétique de raison $r=400$ et de 1 $^{er}$ terme $P_{1}=1000$ .

Ainsi, $P_{n}=P_{1}+(n-1)\times400=1000+400n-400=400n+600$

$P_{n}=400n+600$

c) La quantité de pesticide utilisée aprés 20 jours de traitement
est $P_{1}+P_{2}+.....+P_{20}$

$P_{1}+P_{2}+.....+P_{20}=\frac{20}{2}\left( P_{1}+P_{20}\right) =10\times\left( 1000+600+400\times20\right) =10\times\left( 9600\right) =96000$

La quantité de pesticide utilisée aprés 20 jours de traitement est
de $96000$ litres

Le litre pesticide coù}te 18000 francs.

La somme dépensée durant ces 20 jours est:

$96000\times18000=1.728.000.000F$

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