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Corrigé 2018 :

Détails: Catégorie : géométrie plane

1. $A^\prime = f(A)$ a pour affixe $z_{A^\prime}=e^{i|z_A|}z_A=e^{i\pi}\pi=-\pi=-z_A.$ .
B^\prime = f(B) a pour affixe $z_{B^\prime}=e^{i|z_B|}z_B=e^{2i\pi}2\pi=2\pi=-z_B.$ .

2. Le point O est invariant par f. Un point M distinct de O, d’affixe z est invariant par f si et seulement si $e^{|z|}z=z\quad et\quad z\neq O.$ .

$\begin{matrix}&e^{|z|}z&=&z\\\Leftrightarrow&e^{|z|}&=&1\\\Leftrightarrow&|z|&=&2k\pi,k\in\mathbb{N}^\ast\\\Leftrightarrow&OM&=&2k\pi,k\in\mathbb{N}^\ast\end{matrix}$

E est donc l’ensemble des cercles de centre O et de rayon $2k\pi,k\in\mathbb{N}$

3. L’affixe $z_c$ de C est $2e^{i\pi\slash 3}}$ . Un point M d’affixe z appartient à $\Delta$ si et seulement si z et $z_c$ ont même argument c’est à dire si et seulement si $ae^{i\pi\slash 3}$ , a avec a réel > 0

Un point M(z) de $\Delta$ et son image M^\prime(z^\prime) sont symétriques par rapport à si et seulement si $z^\prime=\bar{z}$ .

$\begin{array}{llll}&\bar{z}&=&e^{i|z|}z\\\\\Leftrightarrow&ae^{i\pi\slash 3}&=&ae^{i|z|}e^{i\pi\slash 3}(On\;pourrait\; remplacer\; |z| par\; a)\\\\\Leftrightarrow&e^{-2i\pi\slash 3}&=&e^{i|z|}\\\\\Leftrightarrow&\exists k\in\mathbb{N}^\ast,|z|&=&-2\pi\slash 3+2k\pi\end{array}$

4. a. $\mathcal{C}_k=\mathcal{C,2k\pi}$ .

$a_k=\pi[2(k+1)\pi]^2-\pi(2k\pi)^2=\pi^3(8k+4)$ .

b. La suite $a_n$ est la suite arithmétique de premier terme $a_1=12\pi^2$ et de raison $8\pi^3$ .

c. $\lim_{n\to}a_n==\infty$ .

5. a. M(z) appartient à $Delta$ et est symétrique avec son image par rapport $(O,\vec{u})$ si et seulement s’il existe $k^\prime\in\mathbb{N}^\ast$ tel que $|z|=-2\pi\slash 3+2k^\prime\pi$ . Donc un point M(z) appartient à $(\Delta)\cap\mathcal{D}_k$ et est symétrique avec son image par rapport $(O,\vec{u})$ si et seulement s’il existe $k^\prime\in\mathbb{N}^\ast$ tel que :

$\left\{\begin{array}{lll}|z|&=&-\frac{2\pi}{3}+2k^\prime\pi\\\\2k\pi&\leq&|z|\leq(k+1)\pi\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}|z|&=&-\frac{2\pi}{3}+2k^\prime\pi\\\\2k\pi&\leq&\frac{2\pi}{3}+2k^\prime\pi\leq2(k+1)\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}|z|&=&-\frac{2\pi}{3}+2k'\pi\\\\k&+&\frac{1}{3}\leq k'\leq k+1+\frac{1}{3}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}|z|&=&-\frac{2\pi}{3}+2k^\prime\pi\\\\k^\prime&=&k+1\end{array}\right. Donc$

$z =2\pi\left(k+\frac{2\pi}{3}\right)e^{i\pi\slash 3}$

b. Soit M(z) un point de $\mathcal{D}_k$ et M^\prime(z^\prime) son image par f.
Alors |z^\prime| = |z| puisque $z^\prime=e^{i|z|}z$ .

Donc si |z| est compris entre $2k\pi$ et , il en est de même de |z^\prime|. Autrement dit si M
appartient à $\mathcal{D}_k$ , son image appartient à $\mathcal{D}_k$ .

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