terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

C 2017 :

Détails: Catégorie : Suites numériques

Soit a un entier naturel non nul et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
$u_n\,=\,pgcd(n,a)$ .

1. a. $u_0\,=\,pgcd(0,15)\,=\,15,u_1\,=\,pgcd(1,15)\,=\,1,\, u_2\,=\,pgcd(2,15)\,=\, 1$ .

b. Pour $a\,=\, 4, u_m\,=\,u_n\,=\,2$ signifie pgcd (m, 4) = pgcd (n, 4) = 2.

m et n sont donc des nombres paires non multiples de 4.

Il existe donc des entiers naturels impairs 2m' + 1 et 2n' + 1 tels que m = 2(2m' + 1) et n = 2(2n' + 1).

Alors m + n = 4(m' + n' + 1), puis pgcd (m + n, 4) = 4 c’est à dire $u_{m+n}\,=\,4$ .

2. a. Soit b un entier naturel.

Démontrer que pour tout entier relatif q on a : pgcd(a, b) = pgcd(a, b - qa).

Soit d un entier.

Si d est un diviseur commun de a et b, il existe deux entiers m et n tels que a = dm et b = dn.

Alors b - qa = d(n - qm). Donc d est un diviseur commun de a et b - qa.

Réciproquement, si d est un diviseur commun de a et b - qa, il existe deux entiers m' et n' tels que a = dm' et b-qa = dn'. Alors b = (b-qa) +qa = d(n' +qm'). Donc d est un diviseur commun de a et b.

{a, b} et {a, b - qa} ayant les mêmes diviseurs commun ont le même pgcd.

b. $u_0\,=\,pgcd(0,a)\,=\, a$ et $u_a\,=\,pgcd(a,a)\,=\,a$ .

$\begin{array}{lll}u_{n+a}&=&pgcd\,(a,n+a)\\ &=&pgcd\,(a,n)\; d'apr`{e}s\; le\;{\bf{a.}}\, avec\, b\,=\,n+a\, et \,q\,=\,-1.\\ &=&u_n\end{array}$ .

Nous venons de démontrer que la suite $(u_n)$ est périodique et a est une période.

3. $n\,=\,15^{21}+2\,=\,2+15m\quad avec\quad m\,=\,15^{20}$ donc
$\begin{array}{lll}u_n&=&u_2+15m\\ &=&u_2\;\textrm{car 15 est une p\'{e}riode de}(u_n)\\ &=&pgcd\,(2,15)\\ &=&1\end{array}.$

Suivant >

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33