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Corrigé 2014 : Problème

Détails: Catégorie : Calcul intégral

Partie A

1.a. $\forall x\in I, f_{1}(x)=\frac{1}{x}\int^{x}_{1}\frac{1}{t}dt=\frac{1}{x}\left[lnt\right]^{x}_{1}=\frac{lnx}{x}$ .

La fonction $f_{0}$ est définie, continue et dérivable sur I et de dérivée $f\prime _{0} : x\mapsto -\frac{1}{x^{2}}$ , fonction strictement négative.

$\lim_{x\to +\infty}f_{0}(x)=0$ et $\lim_{x\to +0}f_{0}(x)=+\infty$ .

Voici le tableau de variations de $f_{0}$

image

La fonction $f_{1}$ est définie, continue et dérivable sur I et de dérivée $f\prime _{1} :x\mapsto \frac{1-lnx}{x^{2}}$ .

la dérivée est $\geq 0$ si et seulement si $lnx\leq 1$ c'est à dire $x\leq e$ et elle s'annule seulement si x= e.

$\lim_{x\to +\infty}f_{1}(x)=0$ et $\lim_{x\to 0}f_{1}(x)=-\infty$ .

Voici le talbeau de variations de $f_{1}$

$\forall x\in I, f_{1}(x)-f_{0}(x)\geq 0 \Longleftrightarrow \frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}\geq 0$

$\Longleftrightarrow lnx-1\geq 0$

$\Longleftrightarrow x\geq e$

et $f_{1}(x)-f_{0}(x)= 0$ seulement si x=e

Donc dans l'intervalle $]0,e[,C_{1}$ est au dessous de $C_{0}$ et dans l'intervalle $]e,+\infty[,C_{1}$ est au dessus de $C_{0}$

Voici les courbes $C_{1}$ et $C_{0}$

2. L'aire demandée vaut en unités d'aire $A=\int^{e^{2}}_{1}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|=\int^{e}_{1}\left(\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}\right)dx+\int^{e{2}}_{e}\left(\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}\right)dx$

$f_{0}$ a pour primitives dans I, $x\mapsto lns + c^{te}$ .

Pour tout $x\in I,f_{1}(x)=u\prime u$ avec u = lnx

Donc $f_{1}$ a pour primitives dans I, $I,x\mapsto \frac{1}{2}u^{2}+c{te}=\frac{1}{2}(lnx)^{2}+c^{te}$ .

$A=\left[lnx-\frac{1}{2}(lnx)^{2}\right]^{e}_{1}+\left[\frac{1}{2}(lnx)^{2}-lnx\right]^{e}_{1}=1-\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}4-2-\left(\frac{1}{2}-1 \right)\right)=1 u.a=4cm^{2}$

Partie B

1.a. Appelons $P_{n}$ la propriété " $f_{n}$ est dérivable sur I"
Nous savons déjà que $f_{0}$ est dérivable sur $I;P_{0}$ est donc vraie.
Supposons $P_{n}$ varie pour un entier n donné, c'est à dire $f_{n}$ est dérivable sur I.

Alors l'application $g:x\mapsto \int_{1}^{x}f_{n}(t)dt$ est dérvable sur I et de dérivé $g\prime : x\mapsto f_{n}(x)$ ; par conséquent $f_{n+1}$ , produit de $f_{0}$ et de g est dérivable sur I ; $P_{n+1}$ est donc vraie.

b. D'après le a, pour tout entier naturel n, $f_{n+1}$ est dérivable sur $I;P_{n+1}$ est donc vraie.

$\forall x\in I,f\prime _{n+1}(x)=f\prime _{0}(x)g(x)+f_{0}(x)g\prime (x)=-\frac{1}{x^{2}}\int^{x}_{1}f_{n}(t)dt+\frac{1}{x}f_{n}(x)=-\frac{1}{x}f_{n+1}(x)+\frac{1}{x}f_{n}(x)$

2.a. Soit s un élèment de I.

En intégrant la relation de la question précédente , on obtient

$\int^{x}_{1}f\prime _{n+1}(t)dx=\int^{x}_{1}\frac{-f _{n+1}(t)+f_{n}(t)}{t}{dt$

c'est à dire

$f _{n+1}(x)-f _{n+1}(1)=-f _{n+1}(x)-F_{n}(x)$

ou, puisque $f _{n+1}(1)=0$

$f _{n+1}(x)=F _{n+1}(x)+F _{n1}(x)$

b. Soit p un entier naturel non nul et s un élèment de I.
En sommant la relation précédente de 0 à p-1 on obtient

$\sum^{p-1}_{n=0}f _{n+1}(x)=\sum^{p-1}_{n=0}\left(-F _{n+1}(x)+F _{n}(x)\right)=-F_{p}(x)+F_{0}(x)$

c'est à dire

$\sum^{p}_{n=1}f _{n}(x)=-F_{p}(x)+F_{0}(x)$

ou, en ajoutant aux deux membres

$\sum^{p}_{n=1}f _{n}(x)=f_{0}+F_{0}(x)-F_{p}(x)$

3.a. Pour tout entier naturel non nul n, appelons $Q_{n}$ la propriété $"\forall x\in I, f _{n}(x)=\frac{ln^{n}x}{n!x}"$

Nous savons déjà que $"\forall x\in I, f _{1}(x)=\frac{lnx}{x}"$ ; $Q_{1}$ est donc vrais.

Supposons $Q_{n}$ vraie pour un entier non nul n donné, c'est à dire $"\forall x\in I, f _{n}(x)=\frac{ln^{n}x}{n!x}"$

Alors $f _{n+1}(x)=\frac{1}{x}\int^{x}_{1} \frac{ln^{n}t}{n!t}dt$ .

Mais pour tout t dans $I,\frac{ln^{n}t}{n!t}$ s'écrit $\frac{1}{n!}v^{n}v\prime$ avec v = lnt, l'application

$t\mapsto\frac{1}{n!}\frac{1}{n+1}v^{n+1}=\frac{ln^{n+1}t}{(n+1)!}$

est donc une primitive

$t\mapsto\frac{ln^{n}t}{n!t}$

Par conséquent $\forall x\in I,f\prime _{n+1}(x)=\frac{1}{x}\left[\frac{ln_{n+1}t}{(n+1)!}\right]^{x}_{1}=\frac{ln_{n+1}x}{(n+1)!x};Q_{n+1}$ est donc vraie.

b. Pour tout x dans $[1,e]$ ,on a puisque la fonction ln est croissante : $0\leq lnx \leq 1$ , donc

$\forall x\in [1,e]|f_{n}(x)=\frac{ln^{n}}{n!x}\leq \frac{1}{n!x}\leq \frac{1}{n!}$

On en déduit que

$\left|F_{n}(e)\right|=\left|\int^{e}_{1}\frac{f_{n}(t)}{t}dt\right|\leq \int^{e}_{1}\frac{f_{n}(t)}{t}dt\leq\int^{e}_{1}\frac{1}{n!}\left[lnt\righ]^{e}_{1}=\frac{1}{n!}$

Puisque $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{n!}=0$ , le théorème des gendarmes permet de conclure que $\lim_{x\to +\infty} F_{n}(e)=0$

c. De la question 2, on tire en remplacant x par e :

$\sum^{p}_{n=0}f _{n}(e)=-f_{0}(e)+F_{0}(e)-F_{p}(e)$

et en faisant tendre p vers $+\infty$

$\lim_{p\to +\infty}\sum^{p}_{n=0}f _{n}(e)=f_{0}(e)+F_{0}(e)-\lim_{p\to +\infty}F_{p}(e)=f _{0}(e)+F_{0}(e)$

soit en remplaçant $f _{n}(e)$ par $\frac{ln^{n}e}{n!e}=\frac{1}{n!e}$ et sachant que

$F_{0}(e)=\int^{e}_{1}\frac{f_{0}(t)}{t}dt=\int^{e}_{1}\frac{1}{t^{2}}dt=\left[\frac{1}{t}\right]^{e}_{1}=1-\frac{1}{e}:$

$\lim_{p\to +\infty}\sum^{p}_{n=0}\frac{1}{n!e}=\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}=1$

Et en multipliant par e : $\lim_{p\to +\infty}\sum^{p}_{n=0}\frac{1}{n!}=e$

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