1.a. On a, pour tout réel compris entre et :
.
Puis en intégrant:
.
C'est à dire.
b. .
2.a. En réduisant le deuxième membre au même dénominateur, on obtient:
Donc et sont tels que et ,\; . Alors et ; ce qui entraîne .
Par conséquent
3.a. On a avec .
Donc en procédant à une ittération: . Ensuite .
b. Dans les inégalités de la question {1.a.}, remplaçons l'intégrale par sa valeur tirée de la question {1.b.}
.
ce qui permet d'encadrer :
Puis sommons membre à membre ces inégalités depuis à , on obtient la relation demandée :
Comme , le théorème des gendarmes permet de conclure que .
c. La relation établie dans la question{1.b.} donne par sommation:
ou en faisant intervenir la relation de Schales pour les intégrales:
Ensuite en intégrant:
Finalement .
Puisque et , on en déduit que
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