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corrigé epreuve 2011 : Equation dans C

Détails: Catégorie : algèbre

I. 1°) z est écrit sous forme algébrique, x (ou cartésienne).
Sa partie réelle et y sa partie imaginaire.

2°) Le module de $|Z|$ est le réel positif $|Z|\sqrt{x^2+y^2}$

3°) $cos\alpha = \frac{Re(Z)}{|z|}$ ; $sin\alpha=\frac{Im(Z)}{|z|}$ .

4°) $z’=e^{i\theta}z$ .

II. 1°) Le discriminant réduit de l’équation est $\Delta’= {2\sqrt{3}}^2 – 16 =-4 = 4i^2$ .
Les racines sont donc $z_1=\frac{-2\sqrt{3}-2i}{\frac{1}{2}}=-4\sqrt{3}-4i$ et
$z_2=\frac{-2\sqrt{3}+2i}{\frac{1}{2}}=-4\sqrt{3}+4i$

2°) $OA={|a - 0|}=|a|=\sqrt{{-4\sqrt{3}}^2+{-4}^2}=\sqrt{64}=8$
$OB={|b - 0|}=|b|=\sqrt{{-4\sqrt{3}}^2+{4}^2}=\sqrt{64}=8$ .
${AB=|b - a|}=|16i|=\sqrt{{-4\sqrt{3}}^2+{4}^2}=\sqrt{64}=8$ .

Ainsi OA = OB = AB : Le triangle OAB est équilatéral.

3°) D’après la question 4° de la partie I, l’affixe du point D est donnée par :

$z_d = e^{i\frac{\pi}{3}}z_c = e^{i\frac{\pi}{3}}2e^{i\frac{\pi}{2}}= 2e^{i\frac{\pi}{2}} = 2i$ .

On a utilisé l’écriture exponentielle de $c = z_C = \sqrt 3 + i$ ; on aurait pu également utiliser la forme algébrique.

4°) a) L’affixe de G est donnée par : $z_g = \frac{z_o – z_d – z_b}{1 – 1 - 1}$ (formule résultant de la relation de définition du barycentre : $\overlongrightarrow{GO}- \overlongrightarrow{GD}- \overlongrightarrow{GB} = \overlongrightarrow{0}$ . Comme z_0 = 0, on obtient :
$z_g = z_d + z_b = -4\sqrt{3} + 6i$ .

b)Plaçons les points A,B,C et G dans le repère $(O,\vec u, \vec v)$

5°) $(\vec{GA},\vec{GC}) = (\vec{U},\vec{GC}) – (\vec{U},\vec{GA}) =arg(\vec{GC}) -arg\vec{GA}=arg\frac{z_c-z_g}{z_a-z_g})=arg/frac{\sqrt{3} + i + 4\sqrt{3}- 6i}{-4\sqrt{3} – 4i + 4\sqrt{3} – 6i} = arg\frac{5\sqrt{3} – 5i}{-10i} = arg (\frac{1}{2}+ i\frac{\sqrt 3}{2}) = \frac {\pi}{3}$ .

De plus, $\frac{GA}{GC}= |\frac{z_c –z_g}{z_a – z_g}| = |\frac {1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}| = 1$ . Donc GA = GC.

On conclut de ces résultats que le triangle GAC est équilatéral.

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