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corrigé epreuve 2010 : statistiques à deux variables

Détails: Catégorie : Statistiques

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'années d'exercice X des ouvriers d'une entreprise et leur salaire mensuel Y en milliers de francs.

Notons $X_{i}$ les modalités de X et $n_{i}$ l'effectif avec $1\leq i\leq6$ .

Soit $y_{j}$ les modalités de Y et $n_{j}$ l'effectif avec $1\leq j\leq4$ . N est l'effectif total.

1) Déterminons a et b pour que la moyenne

$\displaystyle\overline{x}=\frac{596}{59}$ et $\displaystyle\overline{y}=\frac{8450}{59}$ ;

On sait que $\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{1}^{6}n_{i}x_{i}}{N}$ et $\displaystyle\overline{y}=\frac{\displaystyle\sum_{1}^{4}n_{j}y_{j}}{N}$

$\displaystyle\overline{x}=\frac{2(a+2)+(6\times13)+'10\times10)+(14\times11)+18\times(b+17)+(22\times5)}{a+b+58}$ et

$\displaystyle\overline{y}=\frac{75(a+5)+(10\times125)+(38\times 175)+225(b+5)}{a+b+58}$

On obtient ainsi le système suivant :

$\left\{\begin{array}{lll} 239a-233b=4900\\ 161a-193b=2580\\ \end{array}\right.$

Doù a=40 et b=20

2) On suppose que a=40 et b=20.

En associant à chaque valeur $x_{i}$ de X la moyenne $m_{i}$ de la série conditionnelle : $(y/x=x_{i})$ , on a le tableau suivant:

a) Calculons le coefficient de corrélation linéaire entre X et m.

Déterminons d'abord les moyennes $\overline{x}$ et $\overline{m}$ , les variances $V_{X}$ et $V_{M}$ , les écarts-types $\sigma _{X}$ et $\sigma _{y}$ et la variance de x et y

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}}{N}$ et $\displaystyle\overline{m}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}m_{i}}{N}$

$\displaystyle V(X)=\frac{\displaystyle\sum x_{i}}{N}-\overline{x}$ et $\displaystyle V(M)=\frac{\displaystyle\sum m_{i}}{N}-\overline{m}$

$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ et $\sigma(M)=\sqrt{V(M)}$

$\overline{x}=12$ $\overline{m}=156$ $V(X)\approx 46.66$

$V(M)=1933,33$ $\sigma(x)\equiv 6,83$ $\sigma(M)\approx 43,96$ et $cov(X,M)\equiv 267,33$

Le coefficient de corrélation $\displaystyle r=\frac{cov(x,m)}{\sigma x\sigma m}$

$r\approx0,89$

Puisque r est proche de 1, il ya alors une forte corrélation entre X et m.

b) La droite de régression de $m$ en $x$ $D_{m/x}$ a pour équation $m=ax+b$ avec

$\displaystyle a=\frac{cov(x,m)}{V(x)}$ et $b=\overline{m}-a\overline{x}$

$a\approx5,73$ et $b\approx87,25$

$D_{m/x}$ : $m=5,73x+87,25$

c) Si x=30 alors $m\approx259,128$ d'où le salaire moyen d'un ouvrier ayant 30 ans d'ancienneté est environ égal à $259130 F$

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