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corrigé epreuve 2008 : Nuage de points

Détails: Catégorie : Statistiques

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x(ann\'ees)&0&1&2&4&7&11&12\\ \hline y(kg)&3,5&6,5&9,5&14&21&32,5&34\\ \hline \end{tabular}$

1) Représenter le nuage de points de cette série.

Insérer schéma

2) Déterminer les coordonnées du point moyen G puis placer G

G $(\bar{x},\bar{y})$

$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum{x_i}= \frac{0+1+2+4+7+11+12}{7} = \frac{37}{7} \approx 5,3$

$\bar{y} = \frac{1}{N}\sum{y_i}= \frac{3,5+6,5+9,5+14+21+32,5+34}{7}= \frac{121}{7} = 17,3$

3) a)Déterminer le coefficient de correlation linéaire r

$r = \frac{Cov(x,y)}{\sigma(x)\sigma(y)}$

$Cov(x,y)= \frac{1}{7}(6,5+19+56+7 \times 21+11\times 32,5+12\times 34)-5,28 \times 17,28$

$Cov(x,y)= \frac{1}{7}(6,5+19+56+147+ 357,5 + 408)- 91,2$

$Cov(x,y)= \frac{994}{7} - 91,2 = 50,8$

$\sigma^2(x) = \frac{1}{N}(\sum{x_i^2})- \bar{x}^2= \frac{1}{7}(1+2^2+4^2+7^2+11^2+12^2)-(5,28)^2$

$\sigma(x)^2 = \frac{335}{7} - 27,9 = 47,8 -27,8 = 20 \Longrightarrow \sigma(x)= \sqrt{20}= 4,47$

$\sigma^2(y) = \frac{1}{N}(\sum{y_i^2})- \bar{y}^2 = \frac{1}{7(2994)-(17,28)}^2 = 427,7-298,5$

$\sigma^2(y) = 129,2 \Longrightarrow \sigma(y)=\sqrt{129,2} = 11,3$

$\Longrightarrow r = \frac{50,8}{4,5 \times 11,3}= 0,290$

b)

4) Donner une équation de la droite de regression (D) de y en x

on a $y - \bar{y} = a(x-\bar{x})$

$a = \frac{Cov(x,y)}{V(x)} = \frac{50,8}{20} \approx 2,5$

$y = a(x-\bar{x}) + \bar{y} = 2,5(x - 5,3) + 17,3$

y = 2,5 x + 4

graphiquement à partir de 4,5 ans le poids sera supérieur à 15 kg

y = 15 $\Longrightarrow$ $x = \frac{15-4}{2,5} = 4,4$

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