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corrigé epreuve 2008 : Equation differentielles intégrale

Détails: Catégorie : fonctions numeriques

(E $_0$ ) : y' + y = 0 et (E) y' + y = e $^{-x}$ cos x

a) Trouver les réels a et b pour que h soit solution de (E)

avec h(x)=(a cos x + b sin x)e $^{-x}$

h'(x) = (-a sin x + b cos x)e $^{-x}$ -(a cos x + b sin x)e $^{-x}$

h'(x) + h(x) = e $^{-x}$ cos x, h(x) étant solution de (E)

$\Longrightarrow$ (b - a)cosx e $^{-x}$ - (a + b)sin x e $^{-x}$ +(a cos x + b sin x)e $^{-x}$ =e $^{-x}$ cos x (b-a) cosx - (a+b)sin x +a cosx + b sin x = cos x

b) cosx - a sin x = cosx

(b-1) cosx - a sin x = 0 $\forall x \in R$ en particulier pour 0 et $\frac{\pi}{2}$

$\Longrightarrow$ b - 1 = 0 et a = 0 $\Longleftrightarrow$ b = 1 et a = 0

d'où a = 0 et b= 1

b) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f - h est solution de (E $_0$ )

Supposons f solution de (E)

on a f'(x) + f(x) = e $^{-x}$ cos x or h'(x) + h (x) = e $^{-x}$ cos x

$\Longrightarrow$ f'(x) + f(x) = h'(x) + h(x) $\Longrightarrow$ (f-h)'(x)+(f-h)(x)=0

$\Longrightarrow$ (f-h) est solution de (E $_0$ )

Supposons que (f-h) soit solution de (E $_0$ )

$\Longrightarrow$ (f-h)'(x)+(f-h)(x)=0 $\Longrightarrow$ f'(x)-h'(x)+f(x)-h(x)=0

$\Longrightarrow$ f'(x)+ f(x)= h'(x)+ h(x)= e $^{-x}$ cos x

$\Longrightarrow$ f'(x)+ f(x)= e $^{-x}$ cos x $\Longrightarrow$ f solution de (E)

c) Résoudre (E $_0$ )

(E $_0$ ) : y' + y = 0 équation différentielle linéaire du 1 $^{er}$ ordre à coefficients constants

L'intégrale générale de cette équation est y(x) = Ce $^{-x}$

d) En déduire la solution générale de (E)

on a f est solution de (E) ssi f-h est solution de E $_0$

on pose f-h = y(x)= C e $^{-x}$

donc f(x)=h(x) + C e $^{-x}$

f(x)=(a cos x + b sin x)e $^{-x}$ + C e $^{-x}$ =(a cos x +b sin x + C)e $^{-x}$

d'où la solution générale de (E) est

f(x)=(a cos x + b sin x + C)e $^{-x}$

e) Déterminer la solution g de (E) telle que g(0)= 0

on a f(0)=0 $\Longleftrightarrow$ a+c = 0 $\Longleftrightarrow$ a = -c

g(x)=(a cos x + b sin x - a)e $^{-x}$

2) $\ell$ (x)= e $^{-x}$ sin x $\Delta_\ell = [0,2\pi]$

$\ell$ est continue et dérivable sur [0,2 $\pi$ ]

$\lim_{x \to 0} \ell(x) = \lim_{x \rightarrow 0} e^{-x} sin x =0$

$\lim_{x \rightarrow 2\pi} \ell(x) = \lim_{x \rightarrow 2\pi} e^{-x} sin x =0$

$\ell \prime (x)= - e^{-x} sin x + e^{-x}cos x =(cos x - sin x)e^{-x}$

$\ell \prime (x)= 0 \Longrightarrow cos x = sin x \Longrightarrow x = \frac{\pi}{4}+ k\pi$ or $x \in [0,2\pi]$

$\Longrightarrow \ell \prime(x) = 0 \Longrightarrow x = \frac{\pi}{4}$ ou $x = \frac{5\pi}{4}$

$\ell(x) = e^{-x} sin x$

$\ell \prime(x) = (cos x - sin x)e^{-x}$

insérer tableau variation

$\ell \left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$

$\ell \left(\frac{5\pi}{4}\right)=e^{-\frac{5\pi}{4}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{5\pi}{4}}$

c) Calculer $I = \int_0^{2\pi}{\ell(x)dx}$

$I = \int_0^{2\pi}{e^{-x} sin x dx}$

u=-e $^{-x}$ v'=sin x

u'=e $^{-x}$ v =cos x

$I = \int_0^{2\pi}{e^{-x} sin x dx} = \left[ -e^{-x}cosx\right]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi}{e^{-x} cos x dx}$

$I = 1 - e^{-2\pi} - \int_0^{2\pi}{e^{-x} cos x dx}$

$\int_0^{2\pi}{e^{-x} cos x dx}$

u= e $^{-x}$ v'= cos x

u'= - e $^{-x}$ v = sin x

$\int_0^{2\pi}{e^{-x} cos x dx} = \left[ e^{-x}sinx\right]_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi}{e^{-x} sin x dx}$ = I

donc $I = 1 - e^{-2\pi} - I \Longrightarrow 2I = 1 - e^{-2\pi} \Longrightarrow I = \frac{1-e^{-2\pi}}{2}$

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