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Corrigé corrélation et droites de régression (3 pts - 2009)

Détails: Catégorie : Statistiques

1. (D₁) droite de régression de Y en X ayant pour équation : y = ax + b, on a $a = \frac{cov(X,Y)}{V(X)}$ et $b =\bar{y} - a\bar{x}$

(D₂) droite de régression de X en Y ayant pour équation : x = a’y + b’, on a a’ = $\frac{cov(Y,X)}{V(Y)}$ et $b =\bar{x}$ - a’ $\bar{y}$

On en déduit que aa’ = $\frac{cov(X,Y)}{V(X)} \frac{cov(Y,X)}{V(Y)} = \frac{\left(cov(X,Y)\right)^{2}}{V(X)V(Y)} = \left( \frac{cov(X,Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)\right)^{2}}$

aa’ = r²

(D₁) droite de régression de Y en X ayant pour équation réduite y = 2,4x, on a : a = 2,4 et b = 0

(D₂) droite de régression de X en Y ayant pour équation réduite : $x = \frac{3,5}{9}y + \frac{24}{9}$ , on a : a’ = $\frac{3,5}{9}$ et b’ = $\frac{24}{9}$

D’après la question précédente, le coefficient de corrélation vérifie :

r² = aa’ = $2,4 \times \frac{3,5}{9} = \frac{14}{15}$

Puisque $r = \frac{con(X,Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)}$ , que $\sigma(X)$ et $\sigma(Y)$ sont positifs par définition et que cov (X,Y) est positif par hypothèse, alors r est positif.

Donc $r = \sqrt{\frac{14}{15}}$

On a $\left\{ \begin{array}{ll}- a \bar{x} + \bar{y} = b (1) \\ \bar{x} - a^\prime \bar{y} = b^\prime (2) \\ \end{array} \right.$

Nous multiplions l’équation (2) par a et obtenons : $a\bar{x} - aa^\prime\bar{y} =a b^\prime$

Le système devient : $\left\{ \begin{array}{ll} - a \bar{x} + \bar{y} = b (1) \\ a\bar{x} - aa^\prime\bar{y} = ab^\prime (2’) \\ \end{array} \right.$

La somme membre à membre des 2 équations donne : $(1 - aa^\prime)\bar{y} = b + ab^\prime$

Nous déduisons $\bar{y} = \frac{b + ab^\prime}{1 - r^{2}}$

Pour trouver $\bar{x}$ , je remplace $\bar{y}$ par sa valeur dans (2)

soit :

$\bar{x} - a^\prime\frac{b + ab^\prime}{1 - r^{2}} = b^\prime$

$\Longleftrightarrow \bar{x} = b^\prime + a^\prime \frac{b + ab^\prime}{1 - r^{2}}$

$\bar{x} = \frac{b^\prime - r^{2}b^\prime + a^\prime b + a^{\prime} ab^\prime}{1 - r^{2}}$

$\bar{x} = \frac{b^\prime - aa^{\prime}b^\prime + a^\prime b + a^{\prime} ab^\prime}{1 - r^{2}}$

$\bar{x} = \frac{b^\prime + a^\prime b}{1 - r^{2}}$

Application numérique :

$\frac{1}{1 - r^{2}} = 15$ , on a $\bar{y} = 15 \times 2,4 \times \frac{24}{9}$ et $\bar{x} = 15 \times \frac{24}{9}$

Donc $\bar{y} = 96$ et $\bar{x} = 40$

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