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Corrigé Epreuve 1997: Variables aleatoires (04 pts)

Détails: Catégorie : Probabilités

1/ On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 32 cartes.

L'ensemble des éventualités est l'ensemble des cartes à 3 éléments de l'ensemble des cartes.

Donc $CardA\Omega =C_{32}^{3}=4960$

A : "les cartes sont des as" $C_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$

$A=C_{4}^{3}=4$

$P(A)=\frac{CardA}{Card\Omega }=\frac{1}{1240}=0,0008$

B : "Il y a au moins "2 couleurs" parmi ces 3 cartes"

On a $\bar{B}$ c'est l'événement "les 3 cartes sont de même couleur"

$Card\bar{B}=4\ast C_{8}^{3}=2$

$P(B)=\frac{Card\bar{B}}{Card\Omega }=\frac{7}{155}$

$P(B)=1-P(\bar{B})$

donc $P(B)=\frac{148}{155}=0,95$

C : "Il y a pas d'as parmi les 3 cartes"

Card $C=C_{8}^{3}=3276$

$P(C)=\frac{CardC}{Card\Omega }=0,66$

2/ On tire successivement avec remise 3 cartes du jeu

Soit $\Omega$ l'ensemble des éventualités.

On a $X(\Omega )=\{0,1,2,3\}$

La loi de la probabilité de $X$

On a $Card\Omega =32*32*32$

$P(X=0)=\frac{Card(X=0)}{Card\Omega }=\frac{24* 24* 24}{32* 32*32}=\frac{27}{64}\tilde{=}0.42$

$P(X=1)=\frac{Card(X=1)}{Card\Omega }=\frac{3*8*24* 24}{32x 32x 32}=\frac{27}{64}\tilde{=}0.42$

$P(X=2)=\frac{Card(X=2)}{Card\Omega }=\frac{3 *8*8*24}{32*32*32}=\frac{9}{64}\tilde{=}0.14$

$P(X=3)=\frac{Card(X=3)}{Card\Omega }=\frac{8* 8* 8}{32*32* 32}=\frac{1}{64}\tilde{=}0.01$

Espérance mathématique de $X$ :

$E(X)$ = $\sum_{i=1}^{3} x_{i}p_{i}=p(x=1)+2p(x=2)+3p(x=3)$

$=\frac{27}{64}+2*\frac{9}{64}+3*\frac{1}{64}= \frac{3}{4}$

$E(X)=0.75$

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