1)
a) Montrons que admet deux points invariants
{ donc }
d'où
b) Montrons que est une bijection
Za {-} Zz = az {-} 1
donc z(a+Z) = Za {}-1
Si c' est à dire
on a z = est unique
Ainsi est une bijection de vers
notons sa bijection réciproque
Montrons que =
pour
ainsi
2)
a) Vérifions que
posons
or
donc
ainsi
b)
Montrons que
soit symétrique par rapport au centre du cercle de avec centre de .
Or
donc
Or
'''
rayon du cercle
'
évaluons
Soit le point diamétralement opposé à sur
avec
donc
par analogie
d' où
c)
avec et réels
avec et réels
et
colinéaires donc
évaluons alors
avec
donc
La réciproque est facile à établir
En déduire que '
On a déjà
avec
'
donc '
Montrons que est le symétrique de par rapport à l'
axe des ordonnées
On a
donc
pour
'
donc et sont symétriques par rapport à .
3)
a) Construction de
recoupe en et est le symétrique de par
rapport à l' axe des ordonnées.
b) Image par d' un cercle contenant et
Si alors \
donc
Réciproquement soit soit
donc
la droite coupe en tel que
ainsi \
en regroupant et on obtient
4)
a)
g dérivable sur comme rapport des fonctions
dérivables.
' {\TEXTsymbol{>}} 0
tableau de variation de
En déduire
On a g est strictement croissante sur
or et
donc
Image par \ de l'axe des abscisses privée de
On a
et
d'où l'image par \ de l'axe des abscisses privée de est
l'axe des abscisses privé de
b)
C
On a
donc
c) une droite passant par et distinct de
soit alors \ ou avec
or
donc
ou
donc décrit un cercle passant par et privé de
et
Cas où
alors ou
donc décrit le cercle de diamètre privé de
et
5) est le cercle de centre O et de rayon
a) )
On a
or et
donc
b) Si , , ,{tex}\k{\neq}1
{/tex} et
décrit le cercle de diamètre avec barycentre
de et barycentre de
c)
si ,
décrit la médiatrice de l' image de est la médiatrice de .
Si , l' image de est le cercle de diamètre
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