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Corrigé Epreuve 1998 :Jeu télévisé

Détails: Catégorie : Suites numériques

Un jeu télévisé hebdomadaire est régi comme suit: le
concurrent victorieux peut quitter l'émission empochant vingt cinq mille
(25 000) francs ou bien remettre ce gain en jeu pour la semaine suivante; en
cas de nouvelle victoire, cette somme lui est doublée.

On désigne par $U_{n}$ le gain obtenu par un concurrant au bout d'une
série ininterrompue de n victoires.

1. Exprimons $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}$ .

En cas de nouvelle victoire, la somme est doublée, donc $U_{n+1}=2U_{n}$

Nature de $(U_{n})_{n\geq1}$

$U_{n+1}=2U_{n}$ , $(U_{n})_{n\geq1}$ est une suite géommétrique de raison 2.

2. Calcul de U $_{n}$ en fonction de n.

$(U_{n})_{n\geq1}$ est une suite géommétrique de raison 2 et de premier terme U $_{1},$ donc $U_{n}=2^{n-1}U_{1}.$

or $U_{1}=25000$ . d'où $U_{n}=2^{n-1}25000$

Calcul de $U_{7}$

$U_{7}=2^{6}\times25000=1.600.000$

3. Pour gagner sans interruption et accumuler la somme de 12 800 000 francs, il faut que

$2^{n-1}\times25000=12.800.000.$

c'est à dire 2 $^{n-1}=512=2^{9},$ d $^{\prime}$ où n=10.

il faut gagner 10 fois sans interruption pour accumuler la somme de 12 800 000 francs.

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