terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé Epreuve 1997 : Fonction

Détails: Catégorie : Analyse

La fonction numérique f est définie par f $\left( x\right) =\frac{x-1}{x+1}$

1) Etudions la fonction f.
$\lim\limits_{x \to -\infty}$

Soit $Df$ l'ensemble de définition de la fonction f.

$D_f$ $\ = \mathbb{R}-\left\{ -1\right\} =\left] -\infty,-1\right[ \cup\left] -1,+\infty\right[$

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x-1}{x+1}=1,$

$\lim\limits_{x \to -1^{-}}f(x) =\lim\limits_{x \to -1^{-}}{\lim}\frac{x-1}{x+1}=+\infty$ ,

$\lim\limits_{x \to -1^{+}} f(x) =\lim\limits_{x \to -1^{+}}\frac{x-1}{x+1}=-\infty,$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x-1}{x+1}=1$

Calculons la dérivée de f

f'(x) = $\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^{2}}=\frac{2}{\left( x+2\right) ^{2}}$

Tableau de variation de f:

2) Déterminons les équations des asymptotes $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) =1$ , donc la droite d'équation $y=1$ est asymptote à C.

$\lim\limits_{x \to -1}f(x) =\infty$ , donc la droite d'équation $x=1$ est asymptote à C.

Vérifions que $I\left( -1,1\right)$ est centre de symétrie pour C

$f\left[ 2\times\left( -1\right) -x\right] =f\left( -2-x\right) =\frac{x+3}{x+1}$

$2\times1-f\left( x\right) =2-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+3}{x+1}$

$f\left[ 2\times\left( -1\right) -x\right] =2\times1-f\left( x\right)$

donc $I\left( -1,1\right)$ est centre de symétrie pour C

3) Courbe représentative de f dans $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$

Soit T $_{1}$ la tangente à C au point d'abscisse $x=1$

T $_{1} : y=f$ $^{\prime}\left( 1\right) \left( x-1\right) +f\left(1\right) ;$

$y=\frac{1}{2}\left( x-1\right)$

Soit $T_{-2}$ la tangente à C au point d'abcisse $x=-2$

$T_{-2}:y=f$ $^{\prime}(-2)\left( x+2\right) +f\left( -2\right) ;$

$y=2x+7$

On trace la courbe C dans le repère $\left(O, \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j}\right)$

$\frac{x-1}{x+1}$

Partie B

La fonction g est définie par g $\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$

1) Etudions la fonction g.

Soit $Dg$ l'ensemble de définition de la fonction g.

$Dg=% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion$

$\lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}=-1,$

$\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) =\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}=1$

Calculons la dérivée de g

$g^{'}(x) =\frac{e^{x}(e^{x}+1)-(e^{x}-1)e^{x}}{(e^{x}+1)^{2} }=\frac{2e^{x}}{\left( e^{x}+2\right) ^{2}}$

Tableau de variation de f:

2)

Déterminons les équations des asymptotes à C $^{\prime}.$

$\lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=-1,$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) =1,$ donc les droites d'équation respectrives y=-1 \ et \ y=1 sont asymptotes à C'.

On a Df = $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion$

et $g(-x)=\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=-\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}=-g(x)$

On en déduit que g est impaire. d'o\`{u} O est centre de symétrie pour C'.

3)

Soit T' la tangente à C' en O. l'équation de T' est donnée par:

$y=g\prime\left( 0\right) \left( x-0\right) +g\left( 0\right)$

$y=\frac{1}{2}x$

On trace la courbe de g dans le même repère (O, $\overrightarrow{i}%$ , $\overrightarrow{j}$ )

$\frac{x-1}{x+1},\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33