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Corrigé Epreuve 2003 : Fonction

Détails: Catégorie : Analyse

f $\left( x\right) =x\ln x-3x$

1) Déterminons l'ensemble de définition de f noté Df.

f est définie ssi $(x\ln x-3x)$ est définie c'est-à-dire x $>0$

Df = $\left] 0,+\infty\right[$

2) $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\lim_ {x\rightarrow0^{+}}\left( x\ln x-3x\right)$

on a $\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\ln x=\lim_{x\rightarrow+\infty }-\frac{\ln x}{x}=0$ et $\lim_{x\rightarrow0^{+}}3x=0$

donc $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =0$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) =\lim_ {x\rightarrow+\infty}\left( x\ln x-3x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty}x\left( \ln x-3\right)$

on a $\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty$ et
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left( \ln x-3\right) =+\infty$

d'où $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) =+\infty$

3) Calculons $f\prime\left( x\right)$

on a f est dérivable sur $\left] 0,+\infty\right[$ comme produit et
somme de fonctions dérivables sur $\left] 0,+\infty\right[$

$f\prime\left( x\right) =\ln x+x\times\frac{1}{x}-3=-2+\ln x$

$f\prime\left( x\right) =-2+\ln x$

- déterminons le sens de variations de f

f' $\left( x\right) >0\iff\ln x-2>0\iff\ln x>2\iff x>e^{2}$

donc f est croissant sur $\left] e^{2},+\infty\right[$ et decroissant sur
$\left] 0,e^{2}\right[$

- dressons le tableau de variations de f:

$f(e^{2})=e^{2}\times 2-3e^{2}=-e^{2}$

4) équation de la tangente $\left( T_{1}\right)$

à (Cf) au point d'abcisse $x_{0}=1$

elle est donnée par $y=f\prime\left( x\right) \left( x-x_{0}\right) +f\left( x_{0}\right)$

$f\left( 1\right) =-3$

$f\prime\left( 1\right) =-2$

donc $y=-2\left( x-1\right) -3$

$y=-2x-1$

- équation de la tangente $\left( T_{2}\right)$

à (Cf) au point d'abcisse $x_{0}=e^{3}$

elle est donnée par y = f' $\left( x_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +f\left( x_{0}\right)$

$f\left( e^{3}\right) =3e^{3}-3e^{3}=0$

$f\prime\left( e^{3}\right) =3-2=1$

$y=$ $\left( x-e^{3}\right) +0$

$y=x-e^{3}$

5) Représentation graphique de $\left( T_{1}\right)$ , $\left( T_{2}\right)$ , et de la courbe.

6) Calculer la dérivée de g définie sur $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion _{\ast}^{\ast}$

par $g\left( x\right) =\frac{x^{2}\ln x}{2}$

g est dérivable sur $\mathbb{R} _{\ast}^{+}$

et on a $g^{\prime}\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( 2x\ln x+\frac{x^{2} }{x}\right) =x\ln x+\frac{x}{2}$

comme $f\left( x\right) =x\ln x-3x$

on obtient $f\left( x\right) =g^{\prime}\left( x\right) -\frac{x}{2}-3x$

$f\left( x\right) =g^{\prime}\left( x\right) -\frac{7}{2}x$

donc une primitive de f sur $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion _{+}^{\ast}$

est $g\left( x\right) -\frac{7}{4}x^{2}$

7) A est l'aire de la portion de plan comprise entre (Cf) l'axe des abcisses
et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=e^{3}$

$g\left( x\right) -\frac{7}{4}x^{2}$ etant une primitive de f sur $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion _{+}^{\ast}$

on a A = - $\left[ g\left( x\right) -\frac{7}{4}x^{2}\right] _{1}^{e^{3}% }\times(0,5)^{2}cm^{2}$

$A=-\left[ \frac{x^{2}\ln x}{2}-\frac{7}{4}x^{2}\right] _{1}^{e^{3}}% \times(0,5)^{2}cm^{2}=-\left[ (\frac{3\times e^{6}}{2}-\frac{7}{4}% e^{6})+\frac{7}{4}\right] \times0,25cm^{2}$

$A=$ $\left( \frac{e^{6}}{4}-\frac{7}{4}\right) \times0,25Cm^{2}$

$A=\frac{e^{6}-7}{16}Cm^{2}$

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