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2008 : Calcul intégral

soit la fonction ${{g{\left( x\right) }} }={{{\frac{2{x}^{2}+{x}-{5}} {{x}^{2}+{x}-6} }}}$ .

1) Donner le domaine de définition $Dg$ de $g$ .

2) Déterminer les réels ${ a}{\mathrm{,}}{{b}{\mathrm{,}}{c}}$ tels que:

Pour tout ${x} \in {{D}{g}}$ ; ${{g}{\left( x\right) }}= {a}+\frac{b} {x-2}+\frac{c} {x+3}$ .

3) Soit la fonction $G$ défini sur ${\left[{3{\mathrm{;}}5}\right]}$ par

${{G{\left( x\right) }} }={ 2 x }+ \ln {\left( x-2\right) } -2 \ln {\left( x+3\right) }$ .

Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur ${\left[{3{\mathrm{;}}5}\right]}$ .

4) Calculer l'intégrale $I=\int_{3}^{5}{g}{\left( x\right) }{dx}$ .

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