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Corrigé 2018 :

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

4.1.1 Nom du phénomène :

Lorsque qu’on ferme l’interrupteur on a le phénomène d’auto-induction.

4.1.2 Schéma et vecteur champ magnétique :

4.1.3 Expression de l’inductance :

$\Phi=NBS\;or\;B=\frac{\mu_0Ni}{l}\Rightarrow\Phi=N\frac{\mu_0Ni}{\ell}S=\frac{\mu_0N^2i}{\ell}s\; or\;L=\frac{\Phi}{i}\Rightarrow L=\frac{\mu_0N^2s}{\ell}$

Calcul de l’inductance : $L=\frac{4\pi.10^{-7}[1280]^2.314.10^{-4}}{0,8}=0,081\;H=81\;mH$ .

4.2.1 Attribution des courbes :

Le condensateur étant chargée à t= 0 donc $u_c=u_{AM}\neq\;0$ : courbe 1 $(u_{AM})$ et courbe 2 $(u_{DM})$ .

Le phénomène expliquant la décroissance de l’amplitude de la courbe 1 : c’est la perte d’énergie par effet joule.

4.2.2 Relations : $i=\frac{dq}{dt}$ et $u_{DM}=R.i.$ .

4.2.3 Equation différentielle :

$u_{AM}=u_{AD}+u_{DM}\Rightarrow u_{AM}=L.\frac{di}{dt}+Ri$ or $i=-\frac{dq}{dt}=-C.\frac{d^2u_{AM}}{dt^2}$

$\Rightarrow u_{AM}=-LC\frac{d^2u_{AM}}{dt^2}-RC\frac{du_{AM}}{dt}\Rightarrow u_{AM}+LC\frac{d^2u_{AM}}{dt^2}+RC\frac{du_{AM}}{dt}=0\Rightarrow \frac{d^2u_{AM}}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{du_{AM}}{dt}+\frac{1}{LC}u_{AM}=0$

La pseudo-période : graphiquement 3,5T = 14,7 ms $T=\frac{14,7}{3,5}=4,2\quad ms$ .

Valeur de la capacité : $T \approx T_0=2\pi\sqrt{LC}\Rightarrow LC=\frac{T^2}{4\pi^2}\Rightarrow C=\frac{T^2}{4\pi^2L}\quad C=\frac{(4,2.10^{-3})^2}{4\pi^2\times O,O81}=5,6.10^{-6}F$ .

4.2.4 Expression de l’énergie électromagnétique :

$E_{e,m}=\frac{1}{2}Li^2+\frac{1}{2}\frac{q^2}{c}$ avec $q=Cu_{AM}\Rightarrow u_{DM}=R.i\Rightarrow E_{e,m}=\frac{1}{2}L\frac{u_{DM}}{R}2+\frac{1}{2}Cu^2_{AM}$