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Corrigé 2018 :

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1 Accélération du mouvement :

Le mouvement étant rectiligne uniformément varié on a

$V^2_1-V^2_0=2a\;\times\;OA\;\Rightarrow a\;=\;\frac{V^2_1-V^2_0}{2\times OA}=\frac{8^2-O}{2\times 32}=1\;m.s^{-2}$ .

Le temps mis par l'athlète : $a=\frac{V_1-V_0}{\Delta t}\Rightarrow Delta t\frac{V_1-V_0}{a}=\frac{8-0}{1}=8s$

3.2.1 Les équations horaires :

Application du théorème du centre d’inertie $\vec{P}=m\vec{a}\Rightarrow \vec{a}\;=\;\vec{g}$

$\vec{a}\left\{\begin{array}{lll}a_x&=&0\\\\a_y&=&-g\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}V_x&=&c_1\\\\V_y&=&-gt+c_2\end{array}\right. a\; t=0\left\{\begin{array}{lll}V_x&=&V_2cos\alpha\\\\V_y&=&V_2sin\alpha\end{array}\right.$

$on \;tire\left\{\begin{array}{lll}V_x&=&V_2cos\alpha\\\\V_y&=&-gt+V_2sin\alpha\end{array}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}x&=&V_2cos\alpha.t+c_3\\\\y&=&\frac{gt^2}{2}+V_2sin\alpha.t+c_4\end{array}\right. a\;t=0x=0\;et\;y=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}x&=&V_2cos\alpha.t\\\\y&=&\frac{gt^2}{2}+V_2sin\alpha.t\end{array}\right.$

Equation de la trajectoire : $x\;=\;V_2cos\alpha.t\Rightarrow t \;=\;\frac{x}{v_2cos\alpha}\Rightarrow y \frac{g}{2.v_2^2cos^2\alpha}X^2\;+\;xtan\alpha$

3.2.2 Distance AB :

Au sol en B, y= 0 $\Rightarrow\; x\;\frac{v_2^2sin(2\alpha)}{g}=\frac{9,13^2sin(2\times 45)}{9,8}=8,5m$ AB = 8,5 m

Durée du saut : $t=\frac{x}{v_2cos\alpha}=\frac{AB}{v_2cos\alpha}=\frac{8,5}{9,13.cos45}=1,32 s$ .

3.2.3 Valeur de la vitesse finale du saut initial

Application du théorème de l’énergie cinétique entre A et B

$\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2_B\;-\;\frac{1}{2}mv^2_A=W^{\vec{P}}_{A-B}=0\Rightarrow v_A=v_B$ donc la vitesse finale du saut initial est égale à 9,13 m/s.

3.3.1 La trajectoire décrite dans la foulée bondissante est parabolique.

3.3.2 Calcul de la durée :

$BC\;=\;v_3cos30.t\Rightarrow t\;=\;\frac{BC}{v_2cos30}\;=\;\frac{2}{9,13.cos30=0,25\;s}$ .

3.4.1 Distance totale parcourue par l’athlète :

Distance parcourue au saut final : $CD =\frac{v^2_4sin(2\times 16)}{g}=\frac{9,13^2sin(2\times 16)}{9,8}=4,5\;m$

Distance totale parcourue = $D_{totale}=AB+BC=CD=8,5+2+4,5=15\;m$

3.4.2 La Vitesse qu’elle aurait du avoir :

La distance qui serait parcourue au saut final :

$CD^{\prime}=D^{\prime}=D^{\prime}_{totale}-(AB+BC)=15,39-10,5=4,89\;m$ .

$CD^{\prime}=\frac{v^{\prime 2}sin(2\times 16)}{g}\Rightarrow v^{\prime}_4\;\sqrt{\frac{CD^{\prime}\times g}{sin(32)}}\;=\;\sqrt{\frac{4,89\times 9,8}{sin(32)}}=9,51\;m.s^{-1}$

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