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Détails: Catégorie : GEOMETRIE DANS L’ESPACE

1. A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), E(0, 0, 1), F(1, 1, 0), G(1, 1, 1), H(1, 0, 1)

a. Le vecteur $\overrightarrow{BD}\,=\,\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées (-1, 1, 0) c’est à dire $\overrightarrow{BD}\,=-\,\vec{i}+\vec{j}$

Le vecteur $\overrightarrow{BG}\,=\,\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées (0, 1, 1) c’est à dire $\overrightarrow{BD}\,=\,\vec{j}+\vec{k}$

Donc $\overrightarrow{BD}\wedge\overrightarrow{BG}\,=\,(-\vec{i}+\vec{j})\wedge(\vec{j}+\vec{K})\,=\,-\vec{k}+\vec{j}+\vec{i}$ . Les coordonnées de $\overrightarrow{BD}\wedge\overrightarrow{BG}$ sont (1, 1,-1).

b. Le plan (BGD) peut être défini comme le plan passant par B et de vecteur normal
$\vec{n}\,=\,\overrightarrow{BD}\wedge\overrightarrow{BG}$ . Un point P de coordonnées (x, z, y) appartient donc à ce plan si et seulement si $\vec{n}.\overrightarrow{BP}\,=\,0$ c’est à dire 1(x - 1) + 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0 ou x + y - z - 1 = 0.

Cette dernière équation est donc une équation cartésienne de (BGD).

c. On a $\overrightarrow{EC}\,=\,\vec{n}$ qui est normal au plan (BGD), donc la droite (EC) est bien perpendiculaire au plan (BGD).

2. La distance du point C au plan (BGE) est $r\,=\,\frac{|x_c+y_c-z_c-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\,=\,\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Un point P de coordonnées (x, z, y) appartient donc à la sphère S si et seulement si $CP^2\,=\,r^2$ c’est à dire

$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-0)^2\,=\,\frac{1}{3}\; ou\;(x-1)^2+(y-1)^2+z^2\,=\,\frac{1}{3}$ . Cette dernière équation est donc une équation cartésienne de S.

3. A tout $\alpha$ appartenant à l’intervalle [0, 1] on associe le point M de coordonnées $(\alpha,\alpha,1-\alpha)$ .

a. Pour que M soit un point du segment [EC], il faut et il suffit qu’il soit barycentre de ces deux points avec des poids positifs de somme 1.

cherchons donc $t\in[0,1]$ tel que $\overrightarrow{AM}\,=\,(1-t)\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{tAC}$ c'est à dire
$\alpha,\alpha,1-\alpha\,=\,(1-t)(0,0,1)+t(1,1,0)\,=\,(t,t,1-t)$
Donc $t\,=\,\alpha$ .

b. Les points E et C appartiennent au plan médiateur du segment [BD] ; donc ce plan contient la droite (EC) et partant le point M : MBD est un triangle isocèle en M. La distance

$d(\alpha)$ de M à cette droite est donc égale à MO,O étant le milieu de [BD]. Les coordonnées de O sont (1/2, 1/2, 0).

$d(\alpha)\,=\,MO\,=\,\sqrt{\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)^2+(1-\alpha-0)^2}\,=\,\sqrt{3\alpha^2-4\alpha+\frac{3}{2}}$

c.

Pour que la distance de M à la droite (BD) soit mini-
male il faut et il suffit que la fonction d ait un minimum.
$d^{\prime}(x)\,=\,\frac{3\alpha-2}{d(\alpha)}$ . Voici le tableau de variations de d.

Pour que la distance soit minimale il faut et il suffit que

$\alpha$ soit égal à 2/3.

La distance minimale est alors égale à $\sqrt{1/6}$ et les coordonnées de L sont $\left(\frac{2}{3},\;\frac{2}{3},\;\frac{1}{3}\right)$

d. Le centre de gravité du triangle BGD a pour coordonnées
$\frac{1}{3}(x_B+x_G+x_D,y_B+y_G+y_D,z_B+z_G+z_D)\,=\,\frac{1}{3}(2,2,1)=$ coordonnées de L.

Le centre de gravit´e de BGD est bien L.

4. a. Soit P un point de coordonnées (x, y, z) et P' un point de coordonnées (x', y', z').
$\begin{array}{lll}P^{\prime}=h(P)&\Leftrightarrow&\overrightarrow{EP^{\prime}}=\alpha\overrightarrow{EP}\\\\&\Leftrightarrow&(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}-1)=\alpha(x,y,z,-1)\\\\&\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{lll}x^{\prime}&=&\alpha x\\\\y^{\prime}&=&\alpha y\\\\z^{\prime}&=&\alpha z+1-\alpha|\end {array}\right.\end{array}$

Ce dernier système est l’expression analytique de h.

b. Posons h(C) = C'. D’après la question précédente, C' a pour coordonnées :

$(k\,x_c,k\,y_c,z_c+1-k)\,=\,(k,k,1-\alpha)$ = coordonnées de M;

donc M = C' = h(C).

c. S' est la sphère de centre h(C) = M et de rayon |k|r. Un point P de coordonnées (x, z, y) appartient donc à la sphère S' si et seulement si $MP^2,=\,k^2r^2$ c’est à dire $(x-k)^2+(y-k)^2+(z-1+k)^2\,=\,\frac{1}{3}k^2$ .

Cette dernière équation est donc une équation cartésienne de S'.

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