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Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : GEOMETRIE DANS L’ESPACE

1. $A^{\prime}$ appartient C car la droite (OM) est un axe de symétrie de ce cercle. De plus $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA^{\prime}})=2(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=2\theta[2\pi].$

C appartient C et $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})=2\theta+\pi[2\pi].$ .

Il vient : $(\overrightarrow{OA^{\prime}},\overrightarrow{OC})=(\overrightarrow{OA^{\prime}},\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})=\pi[2\pi].$

Donc . $A^{\prime}$ et C sont bien symétriques par rapport à O.

2. a. $b=e^{i(\theta+\pi/2)}=e^{i\pi/2)}.e^{i\theta}=iz$ et $c=e^{i(2\theta+\pi)}=e^{i\pi)}.e^{2i\theta}=-z^{2}$

b. $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ ; donc N est le quatrième sommet du parallèlogramme dont trois points consècutifs sont B,O et A.

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OC}$ ; donc H est le quatrième sommet du parallèlogramme dont trois points consècutifs sont C,O et N.

3. $\theta$ est différent de $\pi\2[\pi]$ signifie que z est différent de i et de -i

Alors b = iz différent de 1 (et de -1) ; A et B sont donc distincts.

De même $c=-z^{2}$ différent de 1 (et de -1) ; A et C sont donc distincts.

Enfin b - c est différent de 0 (et de -2) ; par conséquent B et C sont distincts.

$\frac{z_{\overrightarrow{AH}}}{\overrightarrow{CB}}=\frac{b+c}{b-c}\frac{iz-z^{2}}{iz+z^{2}}=\frac{1-iz}{1+iz}$ et $\frac{z_{\overrightarrow{CH}}}{\overrightarrow{BA}}=\frac{1+b}{1-b}\frac{1+iz}{1-iz}=$

Ensuite :

$\begin{array}{lll}\frac{1+iz}{1-iz}&=&\frac{1+e^{2i\alpha}}{1-e^{2i\alpha}} avec \alpha=\theta/2+\pi\/4\\\\&=&\frac{e^{-i\alpha}+e^{i\alpha}}{e^{-i\alpha}-e^{i\alpha}}\\\\&=&\frac{cos\alpha}{sin\alpha}i\textrm{ est bien imaginaire pur}\end{array}$

On en déduit que les angles $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{CB})$ et $(\overrightarrow{CH},\overrightarrow{BA})$ sont droits ; H est donc l’intersection des hauteurs c’est à dire l’orthocentre du triangle ABC.

a. Le discriminant de l’équation est $i^{2}+4=3$ . Les racines de l’équation sont donc

$z_{1}\frac{i+\sqrt{3}}{2}=e^{i\pi/6}$ et $z_{1}\frac{i+\sqrt{3}}{2}=e^{5i\pi/6}$

Le centre de gravité G du triangle ABC est $\frac{1}{3}(1 + b + c)$ .

Pour que H coincide avec G il faut et il su?t que 1 + b + c soit égale à $\frac{1}{3}(1 + b + c)$ c’est à dire que 1 + b+ c = 0 ou {tex}z^{2}

- iz -1 = 0{/tex}. Donc H coincide avec G si et seulement si $\theta=\pi/6$ ou $\theta=5\pi/6$

4. Puisque l’affxe z s’écrit $cos\theta + isin\theta$ , celle de H s’écrit :

$\begin{array}{lll}1 + iz - z^{2}&=&1+(cos\theta + isin\theta)-(cos\theta + isin\theta)^{2}\\&=&1-sin\theta + icos\theta-cos2\theta - isin2\theta)\textrm{formule de Moivre}\\&=&1-sin\theta -cos2\theta+i(cos2\theta - sin2\theta)\end{array}$

Donc H est le point de H de paramètre $\theta$ .

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