terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé 2009 : fonction numérique et suites

Détails: Catégorie : synthèse

1. a. La fonction f est continue et d´erivable sur $D_{f} =] - 1, +\infty[$ et
$\lim_{x\mapsto -1}f(x) = -\infty;\lim_{x\mapsto +\infty}f(x) = +\infty$ et $\forall x \in D_{f} , f'(x) = 2\frac{1}{1 + x}$
.

La dérivée est donc strictement positive dans $D_f$ .
Voici le tableau de variation de f.

T.V de $x\mapsto f(x)=2ln(1+x)$

et voici la courbe $C_f$ ainsi que les quatre premiers termes de la suite sur le graphique.

b. La fonction l est continue et dérivable sur $D_f$ et

${tex}\lim_{x\mapsto -1}f(x) = -\infty; \forall x \in D_{f} , l\prime (x) = f\prime (x) - 1 = \frac{1 - x}{1 + x}$

Lorsque x tend vers $+\infty$ , nous sommes en présence d’une indétermination de la forme
” $+\infty -\infty$ ”, mais on peut écrire : $l(x) = x\left(\frac{ln(1 + x)}{x}- 1\right)$

.
Lorsque x tend vers $+\infty$ , $\frac{ln(1 + x)}{x}$ a pour limite 0 ; donc $\frac{ln(1 + x)}{x}-1$ a pour limite -1. Par conséquent $\lim_{ x\mapsto +\infty} l(x) = -\infty$ .

Voici le tableau de variation de l.

T.V de $x\rightarrow l(x)=f(x)-x;\alpha = l(2)=2ln3-2\sim 2,2$

La fonction l étant continue et strictement décroissante dans $I = [2, +\infty[$ , réalise une bijection de I dans $l(I) = J = [-\infty, \alpha[$ ; et puisque le réel 0 appartient `a J, il a dans l’intervalle I un seul antécédent par l, autrement dit, l’équation l(x) = 0 a dans I une solution unique $\lambda$
.
Ce $\lambda$ est alors l’unique élèment de I tel que $f(\lambda)$ $\lambda$ .

2. a. Voir graphique.

b. La fonction f étant continue et strictement croissante dans $I = [2, +\infty[$ , réalise une
bijection de I dans $f(I) = [f(2), +\infty[$ ; et puisque $f(2) = 2 ln 3\sim 2, 19$ est > 2, f(I) est contenu dans I.

Démontrons maintenant par récurrence la propriété : $\forall n \in N, P_n$ avec $P_{n} : ”U_{n} \geq 2”$

- Initialisation : $U_{0} = 5$ , donnée de l’énoncé. Donc $U_{0} \geq 2$ et $P_0$ est vrai.

- Héritage : Supposons la propriété vérifiée jusqu’à un rang n, en particulier Pn vrai (c’est à dire $U_{n} \geq 2$ ou $U_{n}\in I)$ et montrons que $P_{n+1}$ est vrai.

$\begin{array}{l}U_{n} \in I\textrm{(Hypoth\acute{e}se de r\acute{e}currence)}\\ f(I) I\\U_{n+1} = f(U_{n})\end{array}\right\}$ $\Rightarrow U_{n+1} = f(U_{n}) \in I \Leftrightarrow U_{n+1} \geq 2$

c. $\forall x \in ]2,+\infty[, f\prime (x) = \frac{2}{1 + x}$ ; donc $\forall x \in ]2,+\infty[,0\leq f\prime (x) \leq \frac{2}{1 + x}= \frac{2}{3}$ .

Conclusion $\forall x \in ]2,+\infty[,| f\prime (x)| \leq \frac{2}{3}$ .

d. Soit $n \in\mathbb {N}$ . Les réels $U_{n}$ et $\lambda$ appartiennent à $[2, +\infty[$ , intervalle dans lequel $|f\prime | \leq \frac{2}{3}$ ,

on peut donc appliquer l’inégalité des accroissements finis au couple $(U_{n},\lambda)$ :

$|f(U_{n})-f( \lambda)|\leq \frac{2}{3}|U_{n}-\lambda|$

c’est à dire , puisque $f(\lambda) = \lambda$

$|U_{n+1} - \lambda|\leq \frac{2}{3}|U_{n}-\lambda|$
;

Posons $|U_{n}-\lambda|=\delta _{n}$ ; la relation précédente devient alors $0<\delta _{n+1}\leq \frac{2}{3}\delta _{n}$ (1).
Si au lieu de ” $\leq$ ” on avait ”=”, la suite dn serait une suite $\delta _{n}$ géométrique et on pourrait immédiatement écrire

$\delta _{n+1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\delta _{0}$ . C’est pourquoi d’aucuns disent d’une suite vérifant (1) qu’elle est sous-géométrique.

Utilisons la même méthode : donnons à n toutes les valeurs entières possibles entre 0 et p, p entier $\geq 0$ ; multiplions ensuite membre à membre (Nous sommes en droit de le faire par ce que nous manipulons des nombres positifs). Il vient :

$\delta _{0}\delta _{1}...\delta _{p}\delta _{p+1}\leq\frac{2}{3}\delta _{0}\frac{2}{3}\delta _{1}...\frac{2}{3}\delta _{p}$

et en simplifiant 2 par $\delta _{0}\delta _{1}...\delta _{p}:0<\delta _{p+1}\leq\left(\frac{2}{3}\right)^{p+1}\delta _{0}$
c’est à dire (tout en remplaçant p par n)

$\forall x \in\mathbb{N},0< |U_{n+1}-\lambda| \leq \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}|U_{0}-\lambda|$ (2)

$l(2)\sim 2, 2$ est positif, $l(3)\sim -2, 2$ est négatif, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $\lambda$ est compris entre 2 et 3.

Puisque $U_{0} = 5$ , on en déduit que $|U_{0}-\lambda|\leq 3$ et la relation (2) entraîne :

$\forall x \in\mathbb{N},0< |U_{n+1}-\lambda| \leq 3\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}=2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$

Cette dernière relation s’écrit aussi : $\forall x \in\mathbb{N},0<\delta _{n+1}\leq 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$

En remarquant que $\lim_{n\mapsto +\infty} 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0$ , on conclut par le théorème des gendarmes que

$\lim_{n\mapsto +\infty}\delta _{n+1}=0$ ,soit $\lim_{n\mapsto +\infty}\delta _{n}=0$ c’est à dire $\lim_{n\mapsto +\infty}|U_{n+1}-\lambda|=0$ enfin $\lim_{n\mapsto +\infty}U_{n}-\lambda$ .

e. La relation $\forall x \in\mathbb{N},0< |U_{n+1}-\lambda| \leq 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ s’écrit $\forall x \in\mathbb{N\ast},0< |U_{n+1}-\lambda| \leq 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Donc pour qu’un entier n vérifie $|U_{n}-\lambda| \leq \frac{1}{10^{2}}$ , il suffit que $2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\leq \frac{1}{10^{2}}$
.

Cette relation est équivalente à : $ln\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\leq ln\frac{1}{200}$ c’est `a dire $(n - 1) ln\frac{2}{3}\leq -ln200$

ou $n - 1 \geq \frac{ln 200}{ln 3 - ln 2}$ finalement $n\geq\frac{ln 200}{ln 3 - ln 2}+ 1$ .

Le plus petit entier vérifiant cette relation est $p=E\left(\frac{ln 200}{ln 3 - ln 2}1\right)+1=15$

Suivant >

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33