Partie A
1.a. .
La fonction est définie, continue et dérivable sur I et de dérivée
, fonction strictement négative.
et
.
Voici le tableau de variations de
image
La fonction est définie, continue et dérivable sur I et de dérivée
.
la dérivée est si et seulement si
c'est à dire
et elle s'annule seulement si x= e.
et
.
Voici le talbeau de variations de
b.
et seulement si x=e
Donc dans l'intervalle est au dessous de
et dans l'intervalle
est au dessus de
Voici les courbes et
2. L'aire demandée vaut en unités d'aire
a pour primitives dans I,
.
Pour tout avec u = lnx
Donc a pour primitives dans I,
.
Partie B
1.a. Appelons la propriété "
est dérivable sur I"
Nous savons déjà que est dérivable sur
est donc vraie.
Supposons varie pour un entier n donné, c'est à dire
est dérivable sur I.
Alors l'application est dérvable sur I et de dérivé
; par conséquent
, produit de
et de g est dérivable sur I ;
est donc vraie.
b. D'après le a, pour tout entier naturel n, est dérivable sur
est donc vraie.
2.a. Soit s un élèment de I.
En intégrant la relation de la question précédente , on obtient
c'est à dire
ou, puisque
b. Soit p un entier naturel non nul et s un élèment de I.
En sommant la relation précédente de 0 à p-1 on obtient
c'est à dire
ou, en ajoutant aux deux membres
3.a. Pour tout entier naturel non nul n, appelons la propriété
Nous savons déjà que ;
est donc vrais.
Supposons vraie pour un entier non nul n donné, c'est à dire
Alors .
Mais pour tout t dans s'écrit
avec v = lnt, l'application
est donc une primitive
Par conséquent est donc vraie.
b. Pour tout x dans ,on a puisque la fonction ln est croissante :
, donc
On en déduit que
Puisque , le théorème des gendarmes permet de conclure que
c. De la question 2, on tire en remplacant x par e :
et en faisant tendre p vers
soit en remplaçant par
et sachant que
Et en multipliant par e :
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