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Corrigé 2014 : Probabilité

Détails: Catégorie : Probabilité

1. L'évènement G : " Obtenir deux boules de $m\hate{e}me$ couleur" est réalisé si et seulement si on a soit deux boules noires (évènement G), soit deux boules blances , soit deux boules rouges.
Puisque ces trois évènement sont incompatilbles,

$p(G)=p(G_{n}\cup G_{b}\cup G_{r})=p(G_{n})+(G_{b})+p(G_{r)}=\frac{C^{2}_{n}}{C{2}_{9}} +\frac{C^{2}_{b}}{C^{2}_{9}}+\frac{C^{2}_{r}}{C^{2}_{9}}$

c'est à dire $g(n,b,)r=\frac{C^{2}_{n}+C^{2}_{b}+C^{2}_{r}}{C^{2}_{9}}=\frac{n(n-1)+b(b-1)+r(r-1)}{72}$

2.a. Notons $\vec{u}$ le vecteur $\vec{BN}\wedge \vec{RN}$

$\vec{u}=(9\vec{i}-9\vec{j})(9\vec{i}-9\vec{k})=81\vec{i}+81\vec{j}+81\vec{k}$ .

Le vecteur $\vec{u}$ étant non nul, les trois points et ne sont pas alignés ; ils déterminent donc un plan ayant ce vecteur pour vecteur normal ou tout autre vecteur non nul qui lui est colinéaire, par exemple, le vecteur $\vec{u_{0}}$ de coordonnées
On en déduit aussi que le plan (NBR) a pour équation cartésienne $1\times x+1\times y +1\times z +d=0$ , d étant un réel à déterminer.

Pour connaitre la valeur de d, il suffit d'exprimer que, par exemple, appartient au plan (NBR) ; ce qui signifie que 9 + d =0 c'est à dire d= -9. On trouve donc que ce plan à pour équation x + y + z - 9 = 0

b. La somme de toutes les boules étant 9, on a n + b + r = 9 ; donc le point M appartient au plan (NBR).

c. Le point M ayant pour coodonnées (n,b,r), on a : $OM^{2}=n^{2}+b^{2}+r^{2}$ donc

$g(n,b,r)=\frac{n(n-1)+b(b-1)+r(r-1)}{72}$ .

$=\frac{n^{2}+b^{2}+r^{2}-n-b-r}{72}$

$=\frac{OM^{2}-n-b-r}{72}$

$=\frac{OM^{2}-9}{72}$

d. H est le projeté orthogonal de O sur le plan NBR signifie $\left\{\begin{array}{l}\vec{OH} est collin\acute{e}aire \grave{a} \vec{uo}\\H appartient au plan(NBR) \end{array}\right.$ c'est à dire

$\left\{\begin{array}{l}t\in\mathbb{R}:\vec{OH}=t\vec{uo}\\Les coordonn\acute{e}es de H v\acute{e}rifient l'\acute{e}quation au plan (NBR)\end{array}\right.$

Ce qui est équivalent à $\left\{\begin{array}{l}t\in\mathbb{R}:H a pour coordonn\acute{e}es (t,t,t)\\t+t+t+t-9=0\end{array}\right.$

Donc les coordonnées de H sont (3,3,3)

e. Pour que g(n,b,r) soit minimale, il suffit que $OM^{2}$ le soit .OM doit donc $\hate{e}tre$ minimale ; c'est à dire M doit $\hate{e}tre$ égale à H ou n = b = r =3

Dans ce cas $g(n,b,r)=\frac{OM^{2}-n-b-r}{72}=\frac{3^{2}+3^{2}+3^{2}-9}{72}=\frac{1}{4}$

3. Ici g(n,b,r) = 1/4.La variable aléatoire X prend les valeurs -1000 (si les deux boules tirées ne sont pas de $m\hat{e}me$ couleur) et k-1000(si les deux boules tirées son t de $m\hat{e}me$ couleur) avec les probabilités respectives 1 - g(n,b,r) = 3/4 et g(n,b,r) = 1/4

Par conséquent $E(x)=-1000\frac{3}{4}+(k-1000)\frac{1}{4}=\frac{k}{4}-1000$ .Pour que le jeu soit équitable, il faut et il suffit que E(x)=0 c'est à dire k = 4000

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