Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm. Dans tout le problème I désigne l’intervalle
.
Partie A
Soit la fonction définie sur I par
.
Pour tout entier naturel et tout
, on pose
et on note
la courbe représentative de
dans le repère
.
1. a. Montrer que pour tout élément x de I , . 0,75 pt
b. Etudier les variations de et de
et dresser leur tableau de variations. 0,5+0,75 pt
2. Déterminer suivant les valeurs de x, les positions relatives de et
. 0,75 pt
3. Construire et
dans le même repère. 0,75 pt
4. Calculer l’aire du domaine plan délimité par les courbes et les droites d’équations respectives
et
. 1 pt
Partie B
Pour tout entier naturel et tout
, on pose
1. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n la fonction est dérivable sur I .0,75 pt
b. Montrer que pour tout et pour tout
dans
. 0,75 pt
2. a. En utilisant la question précédente, montrer que pour tout entier naturel n et pour tout x dans I , . 0,75 pt
b. Vérifier alors que pour tout entier naturel p et tout on a :
3. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout ,
0,75 pt
b. Démontrer que pour tout entier naturel n et tout ,
.
En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite. 0,25+0,5 pt
c. Déduire de la question 2 b. . 1 pt
EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33