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Corrigé 2014 : Problème

Détails: Catégorie : synthèse

1.a) g(x) existe si $x \neq 1$ avec $x > 0$

$D_{g} =]0; 1[\cup]1;+\infty[$

b) $\lim_{x\to 0^{+}}g(x) = 0 ; \lim_{x\to +\infty} g(x) =-\infty$

$\lim_{x\to 1^{-}}g(x) = 0 ; \lim_{x\to 1^{-}}\frac{x}{x-1} =-ln|x-1|=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x-(x-1)ln(1-x)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}g(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x-(x-1)ln(1-x)}{x-1}=+\infty$

2. $x\mapsto\frac{x}{x-1}$ et $x\mapsto ln|x-1|$ sont dérivable pour tout $x\neq 1$ d'où g est désrivable sur $D_{g}$ et

$g\prime (x)=\frac{-1}{(x-1)^{2}}-\frac{-1}{x-1}=-\frac{x}{(x-1)^{2}}$

Sur $D_{g},g\prime (x)<0$

Tableau de variation de g :

3. a) Sur $]1;+\infty[$ , g est dérivable et strictement décroissante donc elle réalise une bijection de $]1;+\infty[$ vers $]-\infty ;+\infty[.$

Or $]0\in \mathbb {R}$ il existe donc $\alpha \in]1;+\infty[$ tel que $g\alpha=0.$

Montrons que $4<\alpha <5$ .

$g(4)\approx 0,23$ et $g(5)\approx 0,14$

$g(4)\times g(5)<0$ donc $4<\alpha <5$ .

4. Sur $]1;\alpha [g(x)>0$ et sur $]\alpha ;\infty[g(x)<0$

PARTIE B.
Soit

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{ln|x-1|}{x},si x > 0\\\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2},si x \leq 0\end{array} \right.$

1.a) $x\mapsto \frac{ln|x-1|}{x}$ est définie si $x\neq 0$ et $x\neq 1$ ,

d'où elle est déffinie sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$ .

$x\mapsto \frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}$ est définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ ,

d'où elle est définie su $]-\infty; 0]$ .

Donc $D_{f}=]-\infty ;0]\cup]0;1+\infty[=\mathbb{R}\{1\}$

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}=0;\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{ln|x-1|}{x}=0;\lim_{x\to 1^{-}}f(x) = \lim_{x\to 1^{-}}\frac{ln(1-x)}{x} = -\infty;\lim_{x\to 1^{+}}f(x) =\lim_{x\to 1^{+}}\frac{ln|x-1|}{x}=-\infty$

b) La droite d’équation x = 1 est une asymptote verticale à la courbe
$(C_{f} )$ de f et la droite d’équation y = 0 est une asymptote hori-
zontale à la courbe $(C_{f} )$ de f aux voisinages de $-\infty$ et $+\infty$

2) a) $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2} =\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{ln(1-x)}{x}=-1$

On a aussi $f(0)=\frac{-6e^{0}}{e^{0}+3e^{0}+2}=1$

$\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=f(0)$

Donc f est continue en 0

b) On admet que $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{ln(1-x)+x}{x^{2}}=-\frac{1}{2}$ .

Et on a $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}+1}{x}$

$\lim_{x\to 0^{-}}\frac{e^{2x}+3e^{x}+2}{x(e^{2x}+3e^{x}+2)}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{e^{2x}+3e^{x}+2}$

Or $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{e^{2x}+3e^{x}+2}{x}=2^{2\times 0}-3e^{0}=-1$ d'où $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x}=-\frac{1}{6}$ .

$f^{\prime}_{d}(0)=-\frac{1}{2}$ et $f^{\prime}_{d}(0)=-\frac{1}{6},f^{\prime}_{d}(0)=-\frac{1}{6}\neq f^{\prime}_{g}(0)=$ d'où $C_{f}$ admet deux demi-tangentes au point d'abcisse 0.

3) a) $f(\alpha)=\frac{ln(\alpha-1)}{\alpha}$ or $g(\alpha)=0$ nous donne $\frac{\alpha}{\alpha -1}=ln(\alpha -1)$

d'où $f(\alpha)=\frac{\alpha}{\alpha-1}\times\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\alpha-1}$ .

b) Sur $]0;1[\cup]1;+\infty[,f\prime(x)=\frac{\frac{1}{x-1}x-ln|x-1|}{x^{2}}=\frac{\frac{x}{x-1}-ln|x-1|}{x^{2}}=\frac{g(x)}{x^{2}}$

Sur $]-\infty ;0[,f\prime(x)=\frac{-6e^{x}(3e^{2x}+6e^{x}+2)}{(e^{2x}+3e^{x}+2)^{2}}$

Sur $]0;1[\cup]1;+\infty[, a le même signe que g(x),$

Sur $]-\infty ;0[,f\prime(x)<0$

Dressons le tableau de variation de la fonction f.

4. Traçons la courbe $(C_{f} )$ de f dans un repère orthonormé $(o,\vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm

5) a) $\frac{-6x}{x^{2}+3x+2}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x+1}$ nous donne a = -12 et b = 6

d'où

$\frac{-6x}{x^{2}+3x+2}=\frac{-12}{x+2}+\frac{6}{x+1}$

b) D'après a) $\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3^{x}+2}=\frac{-12}{e^{x}+2}+\frac{6}{e^{x}+1}$

$=\frac{-12}{e^{x}(1+2e^{-x}}+\frac{6}{e^{x}(1+e^{-x}}$

D'où $\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3^{x}+2}=\frac{-12e^{-x}}{1+2e^{-x}}+\frac{6e^{-x}}{1+e^{-x}}$

c) Soit A l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe, les droites d’équations x = -ln2 et x = 0.

$A=\int^{0}_{-ln2}-f(x)dx\times u.a=\int^{0}_{-ln2}-\frac{-6e^{x}}{e^{2x}+3^{x}+2}dx\times u.a$

$=\int^{0}_{-ln2}=\frac{-12e^{-x}}{1+2e^{-x}}-\frac{6e^{-x}}{1+e^{-x}}=[-6ln(1+2e^{-x})+6ln(1+e^{-x})]^{0}_{-ln2}\times 4cm^{2}$

d'où $A=24ln\frac{10}{9}cm^{2}$

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