terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé 2014 : Balistique

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1. Enoncer du théorème du centre d’inertie : dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système de masse m est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération $\vec {a}G$ de son centre d’inertie : $\sum\vec{F}(exterieures)=m.\vec {a}G.$

3.2. Caractéristiques du vecteur-accélération :
On considère le projectile comme système et on rapporte le mouvement au référentiel terrestre supposé galiléen. L’action de l’air étant négligée, le projectile n’est soumis qu’à son poids.

$T.C.I$ $\sum\vec{F}(exterieures)=m.\vec {a}\Longrightarrow \vec {P}=m.\vec {a}\Longrightarrow m.\vec {g}=m.\vec {a}\Longrightarrow \vec {a}=\vec {g}$

$\vec {a}\left\{\begin{array}{lll} direction : verticale\\sens : \textrm{orienté vers le bas}\\norme : a=g=10m.s^{-2}\end{array}\right.$

3.3. Montrons que le mouvement est plan :

$\vec {a}\left\{\begin{array}{lll} a_{x}=0\\a_{y}=-g\\a_{z}=0\end{array}\right.\Longrightarrow \vec {V}\left\{\begin{array}{lll} V_{x}=V_{0}cos\alpha\\V_{y}=-gt+V_{0}sin\alpha\\V_{z}=0\end{array}\right.\Longrightarrow O\vec {M}\left\{\begin{array}{lll} x=V_{0}cos\alpha.t\\y=-\frac{1}{2}g.t^{2}+V_{0}sin\alpha.t\\z=0\end{array}\right.$

x et y varient au cours du temps alors que z = o quelque soit la date t : le mouvement du projectile est plan et s’effectue dans le plan $(xOy)$ .

3.4. Equation cartésienne de la trajectoire : $x=V_{0}cos\alpha.t\Longrightarrow t=\frac{x}{V_{0}cos\alpha}$ or $y=-\frac{1}{2}g.t^{2}+V_{0}sin\alpha.t$

en remplaçant t dans l’expression de y on obtient : $y=-\frac{g}{2.V^{2}_{0}cos^{2}\alpha}.x^{2}+x.tan\alpha$

3.5. Ordonnée du projectile pour $x_0$ =800 m : $y_{0}=-\frac{g}{2.V^{2}_{0}cos^{2}\alpha}.x^{2}+x_{0}.tan\alpha$

$y_{0}=-\frac{10}{2.100^{2}cos^{2}30^{\circ}}.800^{2}+800.tan30=35,2m$ est supérieure à la hauteur H ; le projectile passe au-dessus de l’oiseau ; l’oiseau ne sera pas atteint par ce projectile.

3.6.

3.6.1. Expression de la portée en fonction de $V_{0}, g$ et $\alpha$ : Soit P le point d’impact au sol : $y_{p}= 0$

$\Longrightarrow -\frac{g}{2.V^{2}_{0}cos^{2}\alpha}.x^{2}_{p}+x_{p}.tan\alpha=0\Longrightarrow x_{p}=\frac{2.V^{2}_{0}cos^{2}\alpha.tan\alpha}{g}\Longrightarrow x_{p}=\frac{2.V^{2}_{0}cos^{2}\alpha.sin\alpha}{g.cos\alpha}=\frac{2.V^{2}_{0}cos\alpha.sin\alpha}{g}$

$x_{p}=\frac{2.V^{2}_{0}cos\alpha.sin\alpha}{g}=\frac{2.V^{2}_{0}.sin2\alpha}{g}$ $x_{p}=\frac{V^{2}_{0}sin2\alpha\alpha}{g}$