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Corrigé Epreuve 1997: Equation dans C

Détails: Catégorie : algèbre

Equations dans C (04 pts - 1997)

1/a) $\omega =\dfrac{2+2i\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{2}+i \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \dfrac{\Pi }{3}+i\sin \dfrac{ \Pi }{3}=e^{i\frac{\Pi }{3}}$

$d'où {tex}|\omega |=1$ $et$ $\arg (\omega )=\dfrac{\Pi }{3}$

b) $z{{}^2} =e^{i\frac{\Pi }{2}}\Longrightarrow z{{}^2} -(e^{i\frac{\Pi }{6}}) {{}^2} =0\Longleftrightarrow (z-e^{i\frac{\Pi }{2}})(z+e^{i\frac{\Pi }{6}})=0$

$\Longleftrightarrow z=e^{i\frac{\Pi }{6}\text{ }}ou$ $z=-e^{i\frac{\Pi }{6} }$

$\Leftrightarrow z=e^{i\frac{\Pi }{6}\text{ }}ou$ $z=e^{i(\Pi +\frac{\Pi }{6} )}=e^{i\frac{7\Pi }{6}}=e^{-i\frac{5\Pi }{6}}$

les racines carrées de $\omega$ sont $e^{i\frac{\Pi }{6}}$ $et$
$e^{-i\frac{5\Pi }{6}}$

2/ $z{{}^2} +(\sqrt{3}-7i)z-4(3+i\sqrt{3})$

la forme canonique donne $(z+\dfrac{\sqrt{3}-7i}{2}) {{}^2} -\dfrac{1+\sqrt{3i}}{2}=0$

donc $(z+\dfrac{\sqrt{3}-7i}{2}) {{}^2} =\dfrac{2+2\sqrt{3i}}{2}$

d'où $z+\dfrac{\sqrt{3}-7i}{2}=e^{i\frac{\Pi }{6}}$ ou $z+ \dfrac{\sqrt{3}-7i}{2}=e^{-i\frac{5\Pi }{6}}$

c'est-à-dire $z=4i$ ou $z_{2}=\sqrt{3}+3i$

$\dfrac{z_{2}-2i}{z_{1}-2i}=\dfrac{-\sqrt{3}+3i-2i}{4i-2i}=\dfrac{-\sqrt{3}+i }{-2}=\dfrac{1+\sqrt{3i}}{2}=\omega$

4/ $A(2i),B(Z_{1}),(Z_{2})$

On a $|\dfrac{Z_{2}-2i}{Z_{1}-2i}|=\dfrac{AC}{AB}et\arg (\dfrac{Z_{2}-2i}{Z_{1}-2i})=(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})$

Donc $\dfrac{AC}{AB}=|\omega |=1$ $et$ $(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}})=\dfrac{\Pi }{3}$

d'où $(ABC)$ est un triangle équilatéral.

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