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Corrigé Epreuve 2003: Similitude directe

Détails: Catégorie : algèbre

$(E):Z^{3}+(1-8i)Z^{2}-(23+4i)Z-3+24i=0$

1) a) posons $Z=ix,x\in TCIMACRO{\U{211d} } BeginExpansion \mathbb{R} EndExpansion$

on a $(ix)^{3}+(1-8i)(ix)^{2}-(23+4i)(ix)-3+24i=0$

$-ix^{3}-x^{2}+8ix^{2}-23ix+4x-3+24i=0$

$(-x^{2}+4x-3)+i(-x^{3}+8x^{2}-23x+24)=0$

$\left\{ \begin{array}{c} -x^{2}+4x-3=0\\ -x^{3}+8x^{2}-23x+24=0 \end{array} \right.$

$x=3$ est solution commune aux deux équations $Z_{0}=3i$

b) A l'aide du schéma de Horner ci dessous, on montre que $1+2i$ est solution de $(E)$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 1-8i & -23-4i & -3+24i \\ \hline 1+2i & & 1+2i & 14-2i & 3-24i \\ \hline & 1 & 2-6i & -9-6i & 0 \\ \hline \end{tabular}$

par la même méthode, on montre que $-2+3i$ est solution de $(E)$ .

c) Les solutions de $(E)$ sont : $\{3i;1+2i;-2+3i\}$

2) le plan est rapporté au repère orthonormal direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

$A(1+2i)\qquad B(3i)\qquad C(-2+3i)$

$G$ est le barycentre des points $A,B,C$ affectés des coefficients respectifs $2,-2$ et $1$

a) $Z_{G}=\frac{2Z_{A}-2Z_{B}+Z_{C}}{2-2+1}$

$Z_{G}=2(1+2i)-2(3i)-2+3i$

$Z_{G}=i$

$\overrightarrow{GA}(Z_{A}-Z_{G})\qquad\overrightarrow{GA}(1+i)$

$\overrightarrow{GB}(3i-1)\qquad\overrightarrow{GB}(2i)$

$\overrightarrow{GC}(-2+3i-i)\qquad\overrightarrow{GC}(-2+2i)$

$\left\vert Z_{\overrightarrow{GA}}\right\vert =\sqrt{2}$ est un argument de $Z_{\overrightarrow{GA}}=\frac{\pi}{4}$

$\frac{Z_{\overrightarrow{GA}}}{\left\vert Z_{\overrightarrow{GA}}\right\vert }=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos\frac{\pi}{4}+i$

$\sin\frac {\pi}{4}$

donc $Z_{\overrightarrow{GA}}=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i$ $\sin\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

$Z_{\overrightarrow{GB}}=2i=2e^{i\frac{\pi}{2}}$

$\left\vert Z_{\overrightarrow{GC}}\right\vert =2\sqrt{2}$

$\frac{Z_{\overrightarrow{GC}}}{\left\vert Z_{\overrightarrow{GC}}\right\vert }=\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

Ainsi $Z_{\overrightarrow{GC}}=2\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4}+i$ $\sin \frac{3\pi}{4})=2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

$\frac{Z_{\overrightarrow{GB}}}{Z_{\overrightarrow{GA}}}=\frac{2e^{\frac {i\pi}{2}}}{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}$

$\frac{Z_{\overrightarrow{GC}}}{Z_{\overrightarrow{GB}}}=\frac{2\sqrt {2}e^{\frac{i3\pi}{4}}}{2e^{\frac{i\pi}{2}}}=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}$

donc $Z_{\overrightarrow{GA}}$ , $Z_{\overrightarrow{GB}}$ et $Z_{\overrightarrow{GC}}$ sont en progression géométrique de raison $\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}$