Partie A
1. a. Les candidats ont le choix entre deux méthodes :
Par dérivation
L'application
a pour dérivé
L'application
a pour dérivé
Il suffit donc d'avoir :
et
l'application a pour dérivé
l'application
a pour dérivé
il suffit donc d'avoir :
et
Par intégration par partie
En posant et
on trouve :
Pour la deuxième égalité, on pose et
on trouve :
b. l'exponentielle l'emporte sur les polynômes fg ; et que
et }.
c. Puisque l'intégrale d'une fonction positive et continue sur un intervalle
est positive, dérivable et de dérivé
,
et
sont positives, dérivables croissantes sur
.
Comme on a, en ajoutant
puis en passant à l'inverse :
.
- On en déduit en multipliant par et en intégrant de
à
Le dernier membre est une fonction croissante de et d'après le b. (avec
) il a pour limite
; par conséquent,
est majorée, et comme elle est croissante, elle a une limite
.
On obtient alors par passage à la limite
- On en déduit aussi en multipliant par et en intégrant de
à
Le dernier membre est une fonction croissante de et d'après le b. (avec
) il a pour limite
; par conséquent,
est majorée, et comme elle est croissante, elle a une limite
.
On obtient alors par passage à la limite
d. Le changement de variable conduit à
2. La fonction est dérivable sur
et sa dérivée
est strictement négative sur
Comme et
,
est une bijection de
sur
qui contient
. L'équation
admet une solution unique
.
On a et
(avec une machine à calculer),
appartient bien à
.
3.a. La fonction est continue et dérivable sur
et de dérivée
. Voici donc le T.V de
.
Ce tableau montre que , ce qui entraîne
b. La fonction est dérivable sur
et
On déduit de l'inégalité précédente que
puis
La fonction étant continue et dérivable sur
, pour tout réel
non nul, on peut lui appliquer le théorème des accroissements finis dans l'intervalle d'extrémités
et
: il existe un réel
dans l'intervalle ouvert d'extrémités
et
tel que \cadre{5cm}
.
On en déduit que,
si alors
.
Et si alors
(Relation évidente puisque
est positive).
Ces relations montrent que la courbe est au dessous de la première bissectrice dans
et au dessus de la première bissectrice dans
.
Comme et que les inégalités précédentes sont \textcolor{red}{strictes}, le réel
est bien la seule solution de l'équation
Remarque : La relation montre puisque
est paire que
On a donc
PARTIE B
Fixons dans
et, pour tout entier naturel
, appelons
la proposition :
est donc vraie.
Supposons la proposition vraie jusqu'à un entier donné.
Alors
(Isolation du dernier terme de la somme)
(Regroupement des intégrales et réduction au même dénominateur)tex}=(-1)^{n+2}\int_{0}^{x}\dfrac{ u e^{-(2n+4)u}{e^{u} + e^{-u}du{/tex}.
La propriété est donc vraie au rang
On en déduit que pour tout réel positif :
Ainsi .
En tenant compte de la première partie (avec et
respectivement), on peut alors passer à la limite quand
tend vers
et écrire :
Pour trouver une valeur approchée de à
près, il suffit de choisir
tel que
i.e
.
On peut donc choisir et prendre comme valeur approchée de
le réel
1. On intègre par parties en posant et
Alors . Il vient
peut donc être vu comme une mesure en unités d'aire de l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équations
et la courbe
limite de
quand
tend vers
peut donc être vu comme une mesure en unités d'aire de l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équations
et la courbe
2. La fonction est continue et dérivable sur
et pour tout
a le même signe que
.
Comme la fonction est paire,
Voici donc le tableau de variations de :
La fonction est deux fois dérivable sur
et pour tout
.
D'après l'étude faite sur , les points de
d'abscisses
et
sont des points d'inflexion.
Voici la courbe
3. a. est positif et pour tout entier naturel
est positif car
est positive.
Comme pour tout réel positif on a
.
La suite est donc décroissante
La suite décroissante et minorée par
, est convergente vers un réel
.
La relation et la continuité de
permettent d'obtenir par passage à la limite
i.e
d'après la question b) :
La suite est donc convergente vers
.
PARTIE C
1. Comme on a
.
.
On a, puisque
:
.
est bien continue au point
.
2. a. La fonction étant dérivable sur
et
dérivable sur
est dérivable sur
et
b. t Soit un réel strictement positif. Puisque
continue sur
, dérivable sur
, le théorème des accroissements finis permet d'affirmer l'existence d'un réel
dans
tel que
.
Puisque , on a
et en prenant l'inverse puis en multipliant par le réel \emph{négatif}
on obtient
.
On en déduit par transitivité ; puis comme la fonction
est croissante :
.
Quand tend vers
ce dernier membre ayant pour limite on a :
La fonction n'est donc pas dérivable au point
Remarque : Le théorème suivant qui n'est malheureusement pas au programme bien que souvent utilisé dans les classes terminales :
{Soit une fonction définie et continue sur un intervalle
, dérivable sur
. Alors
- Si a une limite
quand
tend vers
alors
est dérivable au point
et
- Si a une limite
ou
quand
tend vers
alors
n'est dérivable au point
.
aurait permis d'établir la non dérivabilité de ; en effet
est continue en
et
C. Comme est dérivable sur
et
on a
Mais , donc
Voici le graphe de
En prenant pour la droite
, les points
et
sont confondus et le cercle qu'ils définissent est réduit au point
; donc
est bien les seul candidat possible.
et
; donc les quatre points
et
sont bien cocycliques.
De même et
; donc les quatre points
et
sont bien cocycliques.
L'angle de est
.
On a
Soit un triangle rectangle direct.Pour toute droite
passant par
, on note
et
les projetés orthogonaux respectifs de
et
sur
On veut montrer que lorsque varie, les cercles de diamètre
passent par un point fixe.
Montrer que le point , projeté de
sur la droite
est le seul candidat possible.
Démontrer que les points et
sont cocycliques ainsi que les points
et
. On note
et
les cercles contenant ces points.
Quel est l'angle de la similitude plane directe de centre
qui transforme
en
?
Vérifier que l'image par du cercle
est le cercle
.
On pose . Démontrer que
.
En déduire que . Conclure.
Dans le plan orienté, est carré de côté
tel que
,
un point quelconque de la droite
différent de
. Soit
la similitude plane directe de centre
qui transforme
en
.
Les images de et
par
sont respectivement notées
et
.
Quelle est la nature du quadrilatère
Prouver que les points et
sont alignés
Comparer les angles et
.
Montrer que .
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct on note
l'affixe du point
et
un argument de
.
Prouver que admet pour argument
ou
.
En utilisant la réflexion d'axe , montrer que
.
En déduire qu'un argument de admet pour mesure
Montrer que si est l'affixe du point
, image du point
d'affixe
par
alors
.
Déterminer et
les affixes respectives des points
et
en fonction de
.
On note et
les affixes respectives de
et de
. en utilisant la question 2, prouver que
est un réel et
un imaginaire pur.
Prouver que est le projeté orthogonal de
sur la droite
En déduire, en utilisant la question 1, que lorsque le point parcourt la droite
privée du point
, le point
appartient à une parabole indépendante du point
dont on précisera le foyer et la directrice.
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