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2013

Détails: Catégorie : Géométrie dans l'espace

Dans un plan $\mathcal P$ de l'espace, on considère un cercle $\mathcal C$ de diamètre $[AB]$ .

Soit $(\Delta)$ la droite passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal P$ et $S$ un point de $(\Delta)$ distinct de $A$ .

On note $I$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BS)$ .

Pour tout point $M$ du cercle $\mathcal C$ on note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(MS)$ .

1. Placer les données précédentes sur une figure, $(\Delta)$ étant tracée verticalement.

2. Prouver que $H$ appartient à la sphère $\Sigma$ de diamètre $[AS]$ .

3. Dans cette question, on suppose que $M$ est distinct de $A$ et de $B$ .

Prouver que la droite $(MB)$ est orthogonale au plan $(AMS)$ . En déduire que la droite $(AH)$ est orthogonale au plan $(BMS)$ .

4. Montrer que $H$ appartient au plan $\Pi$ passant par $I$ et orthogonal à la droite $(BS)$ .

5. Déterminer l'intersection $\Gamma$ de la sphère $\Sigma$ et du plan $\Pi$ .

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