Le plan est muni d'un repère orthonormé (unité graphique 2,5 cm).
PARTIE A
1. a. Soit un réel strictement positif. Déterminer en fonction de
, des réels
tels que pour tout réel
on ait :
et
b. Calculer alors et
c. Montrer que les deux fonctions et
définies sur
par :
et
sont positives, dérivables et croissantes sur .
Après avoir vérifié que déduire du
que, quand
tend vers
, elles ont des limites respectives
et
appartenant à
et
.
Indication : On admettra qu'une fonction continue, croissante et majorée sur , admet une limite finie à
d. Montrer que la fonction est paire (faire le changement de variable
).
2. En vue de l'étude d'éventuels points d'inflexions de la courbe représentant la fonction
dans le repère
, montrer que la fonction
définie sur
par :
est dérivable sur
et s'annule en un unique point
appartenant à
.
3. a. Montrer que pour tout . En déduire que pour tout
b. Soit un réel non nul. En appliquant le théorème des accroissements finis à
dans l'intervalle d'extrémités
et
, étudier les positions relatives de la courbe
et la première bissectrice.
En déduire que l'équation a pour unique solution
.
PARTIE B
1. a. Soit un réel positif. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
on a :
(On convient que )
En déduire que pour tout entier naturel :
(Utiliser la question 1b. partie A)
Donner alors une valeur approchée de à
2. En procédant à une intégration par parties, vérifier que pour tout réel positif
En déduire que et
peuvent être interprétés comme aires de domaines que l'on déterminera.
3. Représenter la courbe .
On prendra . On représentera en particulier l'asymptote horizontale, la tangente horizontale, les points d'inflexions et les tangentes à
en ces points et le domaine plan dont une mesure de l'aire est
NB. On rappelle que si une fonction est deux fois dérivable en un point et si sa dérivée seconde s'annule en
en changeant de signe, alors le point de sa courbe d'abscisse
est un point d'inflexion.
4. Soit un réel strictement positif. On pose
et pour tout entier naturel
,
.
a. Démontrer que la suite est positive et monotone.
b. En déduire que la suite est convergente. Calculer alors sa limite.
PARTIE C
On considère la fonction définie sur
par :
et pour tout réel
strictement positif
.
1. Calculer {tex\}lim_{x\mapsto +\infty}F(x){/tex}.
Montrer que est continue au point
.
2. a. Montrer que est dérivable sur
et calculer
pour tout
.
La fonction est-elle dérivable au point
?
b. Déduire du a. que :
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