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Corrigé 2009

Détails: Catégorie : Probabilité

Pour chaque jour $n$ , posons $\Omega _n = J_n\cup K_n$ .
Cette réunion disjointe car les deux événements $J_n$ et $K_n$ sont contraires

Les données du problème se traduisent par: $p_1=p(J_1)=\dfrac25$ et pour tout jour $n$ de l'année différent du premier jour:

1. $p\Big(J_n/J_{n-1}\Big) =\dfrac 13$ et $p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)=\dfrac 13.$

$p\Big(J_2/J_1\Big) =\dfrac 13$

$p\Big(J_2/K_1\Big) =1-p\Big(K_2/K_1\Big) \Rightarrow$ { $p\Big(J_2/K_1\Big) =\dfrac 23.$

Pour trouver la troisième valeur, écrivons:

$J_2=J_2\cap \Omega _1=J _2\cap (J_1\cup K_1) =(J _2\cap J_1)\cup (J_2\cap K_1).$

Alors $p(J_2) =p\Big[(J _2\cap J_1)\cup (J_1\cap K_1)]=p(J _2\cap J_1)+ p(J_1\cap K_1)$

$p(J_2) =p\Big(J_2/J_1\Big) p(J_1)+ p\Big(J_2/K_1\Big) p(K_1)$

Et comme $p(K_1)=1-p(J_1)=\dfrac35:$

$p(J_2) =p\Big(J_2/J_1\Big) p(J_1)+ p\Big(J_2/K_1\Big) \Big(1-p(J_1)\Big)$
$p(J_2)= \dfrac13\dfrac25+\dfrac23\dfrac35 \Rightarrow$ $p(J_2)=\dfrac8{15}$

Puisque $J_1$ et $K_1$ sont contraires, $p(K_1)=1- p(J_1) =\dfrac35$

Par conséquent $p(J_2) = \dfrac13\dfrac25p+\Big(J_2/J_1\Big) p(J_1)+ p\Big(J_2/K_1\Big) p(K_1)$

2. Comme dans la question précédente, écrivons:

$J_n=J_n\cap \Omega _{n-1}=J _n\cap (J_{n-1}\cup K_{n-1}) =(J _n\cap J_{n-1})\cup (J_n\cap K_{n-1}).$

Alors $p(J_n) =p\Big[(J _n\cap J_{n-1})\cup (J_{n-1}\cap K_{n-1})]=p(J _n\cap J_{n-1})+ p(J_{n-1}\cap K_{n-1})$
$p(J_n) =p\Big(J_n/J_{n-1}\Big) p(J_{n-1})+ p\Big(J_n/K_{n-1}\Big) p(K_{n-1})$ \\

Et comme $p(K_{n-1})=1-p(J_{n-1})$ et $p\Big(J_n/K_{n-1}\Big)=1-p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)$

$p(J_{n}) =p\Big(J_n/J_{n-1}\Big) p(J_{n-1})+ \Big[1-p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)\Big]\Big(1-p(J_{n-1})\Big)$

$p(J_{n}) =\Big[p\Big(J_n/J_{n-1}\Big) +p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)-1\Big]p(J_{n-1})+ 1-p\Big(K_n/K_{n-1}\Big)$
$p(J_{n}) =(\dfrac13+\dfrac13-1)p(J_{n-1})+ 1-\dfrac13$
{ $p_{n}=-\dfrac13p_{n-1}+\dfrac23$ }

3. a $u_n=p_n-\dfrac12=-\dfrac13p_{n-1}+\dfrac23-\dfrac12=-\dfrac13\Big(u_{n-1}-\dfrac12\Big)+\dfrac23-\dfrac12=-\dfrac13 u_{n-1}$

$(u_n)$ est donc la suite géométrique de premier terme $u_1=p_1-\dfrac12 =-\dfrac1{10}$ et de raison $-\dfrac13$ }

b. $u_n=\Big(-\dfrac13 \Big)^{n-1}u_1\Rightarrow$ $u_n=-\dfrac1{10} \Big(-\dfrac13 \Big)^{n-1}$ .

$p_n=u_n+\dfrac12\Rightarrow$ $p_n=-\dfrac1{10} \Big(-\dfrac13 \Big)^{n-1}+\dfrac12$ .

4. La probabilité que cet élève a de manger du riz est $m_n=p_{2n}=\dfrac1{10} \dfrac1{3 ^{2n-1}}+\dfrac12$ .
$m_{n+1}-m_n = \dfrac1{10} \dfrac1{3 ^{2n+1}}-\dfrac1{10}\dfrac1{3 ^{2n-1}}=\dfrac1{10} \dfrac1{3 ^{2n-1}}\Big( \dfrac1{3 ^{2}}-1\Big)= - \dfrac4{5} \dfrac1{3 ^{2n+1}}.$ Cette quantité étant négative, la suite $(m_n)$ est décroissante. De plus $m_n \geq \dfrac12$ (D'ailleurs la limite de la suite $(m_n)$ est $\dfrac12$ .)

Par conséquent $\dfrac12\leq m_n\leq m_0=p_2$ c'est à dire $\dfrac12\leq P2n\leq \frac{8}{15}$

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