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Corrigé 2016 :

Détails: Catégorie : Probabilité

Le nombre total de boules est n + (8 + n) + 20 = 28 + 2n.

1. Notons $p_N,p_B$ , et $p_R$ les probabilités de tirer une noire, une blanche et une rouge respectivement.

Puisque les tirages sont avec remise, ces probabilités sont indépendantes du numéro (premier ou second ) du tirage.

$p_N=\frac{8+n}{28+2n};p_B=\frac{20}{28+2n};p_R=\frac{n}{28+2n};$

Pour gagner, il faut avoir tiré une noire au premier tirage (probabilité $p_N$ ) ou avoir tiré une blanche au premier tirage et une noire au second tirage (probabilité $p_B\times pN$ ).

Donc la probabilité de gagner est $p_N+p_B\times p_N=\frac{(n+8)(n+24)}{2(n+14)^2}=f(n)$ .

2. a. Etudions d’abord les variations de f.

f est continue et dérivable sur $\mathbb{R^\ast_+}$ et $\forall x\in\mathbb{R^\ast_+},f^{\prime}(x)=2\frac{-x+16}{(x+14)^3}$ . Voici son tableau de variations.

On y voit nettement que f atteint un maximum égal à $\frac{8}{15}$
au point 16 (qui est heureusement un entier).

Pour que cette probabilité soit maximale, il faut donc et il suffit que n = 16 et cette probabilité vaut $\frac{8}{15}$ .

b. La restriction de f à $\mathbb{R^\ast}$ atteint un minimum égal à $\frac{1}{2}$ au point 1.

Pour que cette probabilité soit minimale, il faut donc et il suffit que n = 1 et cette probabilité vaut $\frac{1}{2}$ .

Quand x tend vers $+\infty$ , f(x) tend vers $\frac{1}{2}$

mais cette valeur n’est pas atteinte par f dans l’intervalle $[16,+\infty$

3. a. X prend les valeurs $x_1=p-8,s_2=q-8$ et $x_3=-8$ avec les probabilités

$\left\{\begin{array}{lllll}p_1&=&P(X=x_1)=p_n&=&\frac{2}{5}\\\\p_2&=&P(X=x_2)=p_B\times p_N&=&\frac{2}{15}\\\\p_3&=&P(X=x_3)=1-p_1-p_2&=&\frac{7}{15}\\\\&=&aussi\quad p_R+p_B\times p_N&=&\frac{n}{28+2n}+\frac{20}{28+2n}\left(1-\frac{8+n}{28+2n}\right)\end{array}\right.$

L’espérance mathématique de X est

$E(X)=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3=\frac{2}{5}(p-8)+\frac{2}{15}(q-8)+\frac{7}{15}(-8)=\frac{2}{5}p+\frac{2}{15}q-8$

b. La nullité de l’espérance mathématique signifie donc 3p + q = 60.

Le couple $(p_0q_0)=(20,0)$ est une solution "particulière" de l’équation diophantienne 3p + q = 60. La solution générale de cette équation est donc

$q=3k+q_0=3k$ et $p=-k+p_0=-k+20,k\in\mathbb{Z}$

Les contraintes supplémentaires sur p et q deviennent - k+ 20 > 3k > 8 c’est à dire $\frac{8}{3}<k<5.$

k vaut donc 3 ou 4 et les couples (p, q) possibles sont (17, 9) et (16, 12).

4. Pour p = 16 et q = 12, on sait d’après ce qui précède que l’espérance mathématique est nulle.

La variance vaut alors $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=E(X^2)$

$V(X)=p_1x^2_1+p_2x^2_2+p_3x^2_3=\frac{2}{5}8^2+\frac{2}{15}4^2+\frac{7}{15}8^2=\frac{18\times 16}{5}$

Et l’écart type vaut $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=4\sqrt{\frac{18}{5}}$

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