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c 2017

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

3.1.

3.1.1. Référentiel terrestre supposé galiléen Système : fusée ;

Bilan des forces extérieures : poids $\vec{P}$ et force

de poussée $\vec{F}$ ;

Théorème du centre d’inertie. : $\vec{P} + \vec{F} =M\vec{a}$

$\Rightarrow F-P=M.a_Z\Rightarrow a_Z=\frac{F}{M}-g.\;\; A.N: a_Z=\frac{16.10^6}{8,5.10^5}-9,8=9,0\quad m.s^{-2}$

3.1.2. Loi de variation z(t) : $a_z$ = constante avec vitesse initiale nulle $\Rightarrow V_z= a_zt+C$

or à $t=0,V_z=V_{0z}=0\Rightarrow C=0\Rightarrow V_z= a_zt\Rightarrow z=\frac{1}{2}a_zt^2+C^{\prime}$ ; à t = 0,z = 0 $\Rightarrow z=\frac{1}{2}a_zt^2$

$z=4,51.t^2$

Altitude à la date t=15 s : $z = 4,51.(15)^2$ =1014 m ; z = 1,0 km

3.2.

3.2.1. Expression de la vitesse angulaire de la Terre :

Le mouvement de la Terre est circulaire est uniforme $\Rightarrow$ l'accélération est normale $\Rightarrow a= a_n=\frac{G.M_s}{d^2}$ or $a_n= \omega^2 d \Rightarrow \omega^2 d=\frac{G.M_s}{d^2}\Rightarrow \omega^2=\frac{G.M_s}{d^3}\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{G.M_s}{d^3}}$

3.2.2. Valeur de la masse du Soleil :

$\omega^2=\frac{G.M_s}{d^3}\Rightarrow M_s=\frac{\omega^3.d^3}{G}=\frac{4\pi^2.d^3}{T^2G.}\quad A.N\, :\quad M_s=2.10^{30}\,kg$ .

3.2.3.

3.2.3.1. SOHO tourne d’un mouvement circulaire uniforme autour du Soleil comme la Terre ; les points S, P et T étant constamment alignés, SOHO a la même vitesse angulaire que la Terre : $\omaga_{soho}=\omega_T$ . Cependant le rayon de sa trajectoire est d- l.

3.2.3.2. Forces qui agissent sur P et leur représentation :

$\vec{F_s}$ = force de gravitation exercée par le Soeil sur P.

$\vec{F_T}$ = force de gravitation exercée par la Terre sur P

image

3.2.3.3. Relation entre \frac{M_T}{M_s} , d et l :

Théorème du centre d’inertie : $\vec{F_s}+\vec{F_T}=m.\vec{a}\Rightarrow\vec{F_s}-\vec{F_T}=m.a_n\Rightarrow\frac{G.M_s.m}{b^2}-\frac{G.M_T.m}{l^2}=m.a_n$
$\Rightarrow\frac{G.M_sm}{b^2}-\frac{G.M_Tm}{l^2}=m\omega^2b\Rightarrow\frac{GM_s}{b^2}-\frac{GM_T}{l^2}=\omega^2b\, ;\, or\quad\omega^2=\frac{G.M_s}{d^3}\Rightarrow\frac{GM_s}{b^2}-\frac{GM_T}{l^2}=\frac{GM_s}{d^3}b$

$b=(d-l)\Rightarrow\frac{M_s}{(d-l)^2}-\frac{M_s}{d_3}(d-l)=\frac{M_T}{l^2}\Rightarrow l^2\left(\frac{1}{(d-l)^2}-\frac{(d-l)}{d^3}\right)=\frac{M_T}{M_s}$

3.2.3.4. Relation $\left(\frac{l}{d}\right)^3=\frac{M_T}{3.M_s}$

on a : $l^2\left(\frac{1}{(d-l)^2}-\frac{(d-l)}{d^3}\right)=l^2\left(\frac{d^3}{(d-l)^2d^3}-\frac{(d-l)^3}{(d-l)^2d^3}\right)=l^2\left(\frac{d^3-(d-l)^3}{(d-l)^2d^3}\right)$

$\Rightarrow l^2\left(\frac{d^3-d^3\left(1-\frac{l}{d}\right)^3}{\left(1-\frac{l}{d}\right)^2d^5}\right)=\frac{M_T}{M_S}$ ; on pose $\frac{l}{d}=\epsilon\Rightarrow 1-\frac{l}{d}=1-\epsilon$

Dès lors : $l^2\left(\frac{d^3-d^3\left(1-\frac{l}{d}\right)^3}{\left(1-\frac{l}{d}\right)^2d^5}\right)=l^2\left(\frac{d^3(1-(1-\epsilon)}{(1-\epsilon)^2d^5}\right)\approx l^2\frac{3\epsilon}{d^2}$

si on fait l'approximation $(1-\epsilon)^n\approx 1-n\epsilon$ .

or $\epsilon =\frac{l}{d}\Rightarrow l^2\left(\frac{3\epsilon}{d^2}\right)=\frac{3l^3}{d^3}\Rightarrow\frac{3l^3}{d^3}=\frac{M_T}{3M_S}\Rightarrow\left(\frac{l}{d}\right)^3=\frac{M_T}{3M_S}$ ;

d'où $l=d\times 3\sqrt{\frac{M_T}{3M_S}}$

AN : $l=1,5.10^6\,km$

3.3. Un satellite tel que SOHO qui tourne d’un mouvement circulaire uniforme autour du Soleil permet d’observer le Soleil de façon continue. Un observatoire terrestre ne permet pas cela à cause de la rotation de la Terre sur elle-même au cours de son mouvement autour du Soleil.

3.4. Cette information n’est pas compatible avec le fait que SOHO effectue un mouvement circulaire uniforme autour du Soleil. En effet si l’attraction terrestre et celle du Soleil sur P s’équilibraient on aurait $\sum\vec{F_{ext}}=\vec{0}$ et en conséquence P devrait rester immobile dans le référentiel d’étude ou en mouvement rectiligne uniforme conformément au principe de l’inertie.

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