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Corrigé 2012 : Etude d'une bobine

Détails: Catégorie : Electromégnétisme

4.1.1. Schéma du solénoïde vue de dessus

4.1.2. Expression de $tan\alpha : tan\alpha =\frac{B_C}{B_H}=\frac{\mu_0.N.I}{l. B_H}$

4.2.1. Relation entre $tan\alpha$ et I à partir du graphe :
$tan\alpha = a.I$ or a=150 (coefficient directeur) $\rightarrow tan\alpha = 150.I$

4.2.2. Déduction de la valeur de N :
$tan\alpha : tan\alpha =\frac{\mu_0.N.I}{l. B_H}=150.I \rightarrow N = \frac{150.l.BH}{\mu_0}$
A.N : $N =N_0= \frac{150 \times 0,5 \times 2.10^{-5}}{4 \pi 10^{-7}}$ = 1194 spires.

4.2.3. Détermination de l’inductance L :
$\Phi = N.B.S = L.I$ or $S=\pi R^2$ et $B_C=\frac{\mu_0.N.I}{l} \rightarrow L.I = N.\frac{\mu_0.N.I}{l}.\pi R^2 \rightarrow L = \frac{\mu_0.N^2.\pi.R^2}{l}$ A.N : $L = \frac{4.\pi.10^{-7}.(5.10^{-2})^2.(1195)^2}{0,5} = 2,82.10^{-2} H$
L = 28,2 mH.

4.3.1. Intensité du courant en régime permanent :

$I_0 =\frac{E}{R + r + r’} =\frac{12}{10+5+5} = 0,6 A.$

4.3.2 a) Equation différentielle à laquelle obéit l’intensité i :
$U_{AD}= U_{AB} + U_{BC} + U_{CD}$
avec $U_{AB} = r’.i + L\frac{di}{dt}$
$U_{BC} = R_0.i ; {tex}U_{CD} = 0 et {tex}U_{AD} = 0\rightarrow 0 = r’.i + L\frac{di}{dt} + R_0.i \rightarrow L\frac{di}{dt}+ (R_0 + r’ ).i = 0 \rightarrow \frac{di}{dt}+ \left(\frac{R_0 + r’}{L}\right).i = 0$

4.3.2 b) Vérification que $i = A.e^{-t/\tau}$ est solution de l’équation différentielle :
$i = A.e^{-t/\tau} \rightarrow \frac{di}{dt}= -\frac{A}{\tau} e^{-t/\tau} \rightarrow \frac{di}{dt}+ \left(\frac{R_0 + r’}{L}\right).i = -\frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}+\left(\frac{R_0 + r’}{L}\right).Ae^{-t/\tau}=Ae^{-t/\tau}\left(\frac{R_0 + r’}{L} - \frac{1}{\tau}\right)$
$\frac{di}{dt}+ \left(\frac{R_0 + r’}{L}\right).i =0 \rightarrow \left(\frac{R_0 + r’}{L} - \frac{1}{\tau}\right) = 0 \rightarrow \tau = \frac{L}{R_0 + r’}$
à t = 0, i = 0 $\rightarrow A = I_0$
D’où : $i = I_0.e^{-t/\tau}$ avec $\tau =\frac{L}{R_0 + r’}$
Allure courbe i = f(t) : décroissance exponentielle à partir de la valeur $i =I_0$ .

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