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Corrigé 2010 : Etude d'un circuit LC

Détails: Catégorie : Oscillation électrique

4.1. : (0,5pt)

Etablissement de l'équation différentielle vérifiée par la tension $U_{AB}$ au cours de cette étape de la charge du condensateur :

$U_{0}=U_{AB}+U_{R}$

avec $U_{R}=R\frac{dU_{AB}}{dt}=RC\frac{dU_{AB}}{dt}$

donc l'équation différentielle vérifiée par la tension est : $RC\frac{dU_{AB}}{dt}+U_{AB}=U_{0}$

4.2.: (1 pt)
Vérification de la solution de l'équilibre différentielle : $U_{AB}=U_{0}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$

$\frac{dU_{AB}}{dt}=\frac{U_{0}}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}$

On obtient : $RC\frac{U_{0}}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+U_{0}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}=U_{0}$

$\rightarrow \frac{RC}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+1-e^{-\frac{t}{\tau}}=1$

$\rightarrow e^{-\frac{t}{\tau}}\left(\frac{RC}{\tau}-1\right)=0$

$\frac{RC}{\tau}-1=0\rightarrow \frac{RC}{\tau}=1$

$\tau =RC$

Application numérique : $\tau =10.10^{3}\times 1.10^{-6}=10^{-2}s=ms$

4.3.
Le graphe qui a l'allure d'une coube exponentielle est en accord avec l'expression de $U_{AB}$

Aussi, avec l'expression $U_{AB}=U_{0}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$

à t = 0 on a $U_{AB}=U_{0}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})=U_{0}(1-1)=0$

et lorsque $t\mapsto +_infty$ alors $u_{AB}\rightarrow U_{0}=5V$

Ce qui se vérifie sur la courbe.

4.3.2. :

$t\tau$ est la date à laquelle $u_{AB}=0,63U_{0}=3,15V$

A partir du graphe, on cherche l'abscisse du point de la courbe dont l'odonnée est égale à 3,15 V.On trouve

$t\tau =10.10^{-3}s=10^{-2}s$

Autre méthode : On peut déterminer $t\tau$ en traçant la tangente à la courbe à l'origine. $t\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec la droit d'équation $U_{AB}=U_ {0}$

On remarque que les deux valeurs de $t\tau$ sont égales. On peut déterminer $t\tau$ par le calcul ou par la méthode graphique.

4.4.: (1 pt)

$i=\frac{dq}{dt}$ avec q = $Cu_{AB}$ donc $i=C\frac{du_{AB}}{dt}$

$\frac{du_{AB}}{dt}=\frac{U_{0}}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}$ et $t\tau =RC$

donc $i=\frac{CU_{0}}{RC}e^{-\frac{t}{\tau}}=\frac{U_{0}}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}$

Allure de i(t)

4.5.:
4.5.1. : Equation différentielle traduisant les variations de la charge q(t)du condensateur en fonction du temps (0,5 pt)

Aux bornes du condensateur : $u_{AB}=\frac{q}{C}$

Aux bornes de la bobine : $L\frac{di}{dt}$

$u_{BA}=-u_{BA}=\rightarrow \frac{q}{C}=-L\frac{di}{dt}\rightarrow \frac{q}{C}+L\frac{di}{dt}=0$

Aussi $i=\frac{dq}{dt}$ donc $\frac{di}{dt}=i=\frac{d^{2}q}{dt^{2}}$
L'équation devient : $\frac{q}{C}+L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}=0\rightarrow\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{1}{LC}q=0$

4.5.2. : Expresssion littérale puis numérique de la charge du condensateur en fonction du temps.(0,75pt)

La solution de cette équation différentielle est de la forme : $q=Q_{m}cos(\omega_{0}t+\varphi)$

Ce qui implique que $i=\frac{dq}{dt}=-\omega_{0}Q_{m}sin(\omega_{0}t+\varphi)$

$Q_{m}$ et $\varphi$ sont déterminés par les conditions initiales:

à t = 0 on a q = $CU_{0}$ et $i=0\rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}q=Q_{m}cos\varphi=CU_{0}\\-\omega_{0}Q_{m}sin\varphi =0\end{array}\right.$

$-\omega_{0}Q_{m}sin\varphi =0\rightarrow sin\varphi =0\rightarrow\varphi=0$ ou $\varphi=\pi$

d'où $Q_{m}=CU_{0}$

En définitive $q=CU_{0}cos\omega_{0}t$

$CU_{0}=10^{6}\times 5=5.10^{-6}$

et $\omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{1}{10.10^{-3}\times 10^{-6}}}=10^{4}rad/s$

d'où $q=5.10^{-6}cos10t$

$T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{2\pi}{10^{4}}=6,28.10^{4}s+$

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