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Corrigé Epreuve 2001 : Ellipse (03,5 pts)

Détails: Catégorie : COURBES PLANES

1 a) Détermination des sommets.

l'ellipse ayant pour : centre $I$ , sommet $A$ , foyer $O$

on a : I est le milieu de $\left[ AA^{\prime }\right]$ avec $A\prime$ le
sommet opposé .

donc $x_{A}=2x_{I}-x_{A}$

$y_{A}=2y_{I}-y_{A}$ donc $A^{\prime }\left( \begin{array}{c} 9 0 \end{array} \right)$

. l'équation de l'ellipse est de la forme avec $\frac{X {{}^2} }{a {{}^2} }+\frac{Y {{}^2} }{a {{}^2} -c {{}^2} }=1$ $a=IA=5,C=IO=4$ donc l'ellipse a pour pour équation :

$\frac{X {{}^2} }{25}+\frac{Y {{}^2} }{9}-1$ avec $\left\{ \begin{array}{c} X=x-4 Y=y \end{array} \right.$

les autres sommets ayant même abscisse que $I$ , on a $\frac{\left( x-4\right) {{}^2} }{25}+\frac{y {{}^2} }{9}-1$

pour $x=4$ on a $y=3$ ou $y=-3$

d'où $B\left( \begin{array}{c} 4 3 \end{array} \right)$ $B^{\prime }\left( \begin{array}{c} 4 -3 \end{array} \right)$

Ainsi les trois autres sommets sont $A\left( \begin{array}{c} 9 0 \end{array} \right)$ \ $B\left( \begin{array}{c} 4 +3 \end{array} \right)$ \ $B^{\prime }\left( \begin{array}{c} 4 -3 \end{array} \right)$

1.b. Détermination de l'excentricité $e$ : $e$ = $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$

. Détermination de la directrice

$D$ a pour l'équation : $x-\frac{a {{}^2} }{c}$ dans le repére $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$

c'est-à-dire $x-4=\frac{25}{4}$ dans $\left( 0,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)$

d'où $D$ : $x=\frac{25}{2}+2=\frac{41}{4}$

1.c : $\left( E\right) :\frac{\left( x-4\right) {{}^2} }{25}+\frac{y {{}^2} }{9}-1$

2.a) Résolution de l'équation :

$Z {{}^2} -2\left( 4+5\cos \theta \right) Z+4\left( 4\cos \theta +5\right) =0$

$\theta \in \left[ 0,\pi \right]$

$\Delta ^{\prime }=\left( 3i\sin \theta \right) {{}^2}$

$Z_{1}=4+\cos \theta +3i\sin \theta$

$Z_{2}=4+5\cos \theta -3i\sin \theta$

b) Coordonnée de $M_{L}$

. Dans $\left( 0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ a pour
coordonnée $\left\{ \begin{array}{c} X=4+5\cos \theta Y=3\sin \theta \end{array} \right.$

donc $\left\{ \begin{array}{c} \cos \theta =\frac{X-4}{5} \sin \theta =\frac{Y}{3} \end{array} \right.$

d'où $\frac{\left( X-4\right) {{}^2} }{25}+\frac{Y {{}^2} }{9}-1$ avec $y<0$

L'ensemble des points $M_{2}$ lorsque $\theta$ varie dans $\left[ 0,\pi \right]$ est la demi ellipse située dans le demi plan $y>0$

a pour coordonnée $\left\{ \begin{array}{c} X=4+5\cos \theta Y=-3\sin \theta \end{array} \right.$

donc $\left\{ \begin{array}{c} \cos \theta =\frac{X-4}{5} \sin \theta =\frac{Y}{3} \end{array} \right.$ d'où $\frac{\left( X-4\right) {{}^2} }{25}+\frac{Y {{}^2} }{9}-1$ avec $y<0$

l'ensemble des points $M_{2}$ lorsque varie dans $\left[ 0,\pi \right]$ est
le symétrique de l'ensemble des points $M_{L}$ par rapport à l'axe
des abscisses.

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