terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé Epreuve 2003 : Courbe paramétrée

Détails: Catégorie : COURBES PLANES

$(C)$ est le cercle trigonométrique.

A tout point $m\in(C),$ on associe $M$ symétrique du point $A$ d'affixe
$1$ par rapport à la tangente en $m$ au cercle $(C)$ .

1) montrons que l'axe des abcsisses est un axe de symétrie de
$(\Gamma)$

Soit $S$ la reflexion d'axe l'axe des abscisses

et posons $S(M)=M\prime$

$\bigskip$ appelons $(T)$ la tangente en $m$ au cercle $(C)$

soit $S(T)=(T\prime),S(m)=m\prime$

on a $T\prime$ est tangente à $(C)$ en $m\prime$

$S(A)=A$

$(T)$ étant la médiatrice de $[AM]$ , alors $(T\prime)$ est la
médiatrice de $[AM\prime]$

d'où S $_{T\prime}(A)=M\prime$

donc $M\prime$ est le symétrique du point $A$ par rapport à
$(T\prime)$ qui est la tangente en $m\prime$ à $(C)$ .

d'où $M\prime\in(\Gamma)$

On a $m(cost,sint)$ , $A(1,0)$ et $M(x,y)$

$\overrightarrow{Om}$ colinéaire à $\overrightarrow{AM}$ donc
det( $\overrightarrow{Om}$ , $\overrightarrow{AM}$ ) = 0

$\left\vert \begin{array} [c]{ll} \cos t & x-1\\ \sin t & y \end{array} \right\vert =0$

donc $(x-1)\sin t-y\cos t=0$

ainsi on obtient $x\sin t-y\cos t=\sin t\qquad(1)$

$I$ milieu de $\left[ AM\right]$ est sur $(T)$

$I\left(\frac{x+1}{2},\frac{y}{2}\right) \qquad$

donc $I\in(T)\Longleftrightarrow\frac{~\frac{y}{2}-~\sin t}{~\frac{~x+1} {2}-\cos t}=\frac{~-\cos t}{~\sin t}$

ce qui donne $x\cos t+y\sin t=2-\cos t\qquad(2)$

On a le système

$\left\{ \begin{array}{llll} x\cos t+y\sin t=2-\cos t\\ x\sin t-y\cos t=\sin t \end{array} \right$

En résolvant le système on obtient:

$\left\{\begin{array}{llll} x=2\cos t-\cos2t\\ y=2\sin t-\sin2t \end{array} \right$

a) Variation de $x$ et $y$ sur $[0,\pi]$

$x\prime=2sin2t-2sint$

$x\prime=2\sin t(2\cos t-1)$

$y\prime=2\cos t-2\cos2t$

$y\prime=-4\cos^{2}t+2\cos t+2$

$y\prime=-4(\cos t-1)(\cos t+\frac{~1}{~2})$

$\overrightarrow{~v}\left( \begin{array} [c]{c} x\prime\\ y\prime \end{array} \right) \overrightarrow{v}\left( \begin{array} [c]{c} 2sin2t-2sint\\ 2cost-2cos2t \end{array} \right) \qquad\overrightarrow{~u}\left( \begin{array} [c]{c} \cos\frac{~3}{~2}t\\ \sin\frac{~3}{~2}t \end{array} \right)$