1) On considère l'équation différentielle
On pose g(x) = , f étant une fonction numérique
dérivable sur .
a) Montrons que f est solution de si et seulement si g'(x) =
On suppose que f est solution de , montrons que
g'(x) = e
Donc
d'où g'(x) =
On suppose que g'(x) =
montrons que fest solution de .
g'(x)= e
donc
f est alors solution de .
b)
Déterminons la solution générale de .
on a est solution de
si et seulement si g'(x) =
g'(x) = ,donc g(x) = ln
or f(x) = e
donc f(x) = ln
Déterminons la solution de (E) qui s'annule en 0.
f(0) = 0 donne ln2 + c = 0, donc c= - ln
la solution qui s'annule en 0 est f(x) = ln
f(x) =
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, on
considère la courbe ( d'équations paramétriques
a) comparons
donc MM
comparons
M=
où est la première bissectrice
donc M et M
sont symétriques par rapport à la
symétrie orthogonal d'axe la première bissectrice.
b) pour tout
,
(M)=
)
, donc la symétrie orthogonanle d'axe la première
bissectrice conserve
on a vu que donc, on peut étudier
sur un
intervalle de longueur ,
et obtenir toute la courbe
On a également un axe de symétrie pour (
, ce qui
permet de réduire l'étude de ( à un intervalle de
longueur , soit
d'où pour construire , il suffit d'étudier x et y dans
c) tableau de variations des fonctions x et y dans .
la fonction est dérivable sur
et on a :
la fonction est dérivable sur
et on a :
Courbe de (:
On construit pour
appartenant à
puis on utilise la symétrie par rapport à pour compléter la courbe.
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