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Corrigé Epreuve 2006 : coupe du monde

Détails: Catégorie : Probabilités

1) Nombre de classement dans l'ordre des 8 équipes pour 4 places:

$A_{8}^{4}=\frac{8!}{4!}=8\times7\times6\times5=1680$

2. a) A: l'événement "une équipe d'Amérique du Sud remporte la coupe".

Il y'a deux équipes d'Amérique du Sud sur les 8 et l'équiprobabilité est sous-entendue.

$CardA=A_{2}^{1}\times A_{7}^{3}=2\times7\times6\times5=810$

$P(A)=\frac{810}{1680}=\frac{2\times7\times6\times5}{8\times7\times6\times 5}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

b) B: "deux équipes Européennes sont 1 $1^{\grave{e}re}$ et $2^{\grave{e}me}$ ,

$CardB=A_{6}^{2}\times A_{6}^{2}=(6\times5)^{2}=900$ .

Il s'agit de classer les 6 équipes Européennes dans l'ordre pour 2 places et les 6 autres équipes restantes pour deux autres places (la $3^{\grave{e}me}$ et $4^{\acute{e}me}$ place).

P(B)= $\dfrac{900}{1680}=\dfrac{3\times5\times6\times5}{8\times7\times6\times 5}=\frac{15}{28}$

c) C:"Les deux premières équipes ne sont pas du même continent"

$CardC=A_{2}^{1}\times A_{6}^{1}\times A_{6}^{2}\times A_{6}^{1}\times A_{2}^{1}\times A_{6}^{2}$

$\qquad\qquad=2\times A_{2}^{1}\times A_{6}^{1}\times A_{6}^{2}=2\times 6\times6\times5=360$

$CardC=360$ .

Il s'agit de choisir la $1^{\grave{e}re}$ parmi 2 équipes, la $2^{\grave{e}me}$ parmi 6
équipes et les 2 autres ( $3^{\grave{e}me}$ et $4^{\grave{e}me}$ ) parmi les 6
équipes restantes ou bien choisir la $1^{\grave{e}re}$ parmi 6, la $2^{\grave{e}me}$ parmi 2 et les deux restantes parmi 6 ( $3^{\grave{e}me}$ et $4^{\grave{e}me}$ ).

P(C) = $\frac{360}{1680}=\frac{2\times6\times6\times5}{8\times7\times 6\times5}=\frac{3}{14}$

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