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Corrigé 2009 : Equation différentielle et fonction

Détails: Catégorie : synthèse

$(E_{c}) : r^{2}+ 2r + 1 = 0$ c’est `a dire $(r + 1)^{2}=0$ .

1. Elle a une racine double égale à -1. Par conséquent la solution générale de $(E^{\prime})$ est :

$f(x) = (ax + b) e^{-x}$ ; a et b réels arbitraires.

2. Pour que la fonction $h : \mapsto ax + b$ soit solution de $(E^{\prime})$ ) il faut et il suffit que

$h^{\prime\prime}(x) + 2h\prime(x) + h(x) = x + 3$ (1)

Or $h^{\prime}(x) = a$ et $h^{\prime\prime}(x) = 0$ . Donc l’équation devient : $2a + (ax + b)= x + 3$

c’est `a dire $(a - 1)x + 2a + b = 0$ ou $\left\{\begin{array}{ccc}a-1&=&0\\2a+b&=&0\end{array}\right.$ . Donc $a = 1$ et $b = -2$ . Finalement

$<h(x) = x - 2$

3. - Soit g une solution de (E') c’est `a dire une fonction telle que :

$g^{\prime\prime} (x) + 2g^{\prime}(x) + g(x) = x + 3$ (2)

En faisant la différence membre à membre de (2) et (1) on trouve :

$g^{\prime\prime}(x) - h^{\prime\prime}(x) + 2g^{\prime}(x) - 2h^{\prime}(x) + g(x) - h(x) = 0$

c’est `a dire $(g - h)^{\prime\prime}(x) + 2(g - h)^{\prime}(x) + (g - h)(x) = 0$ (3)

Ce qui montre que la fonction g - h est solution de (E).

- Réciproquement g - h est solution de (E) est équivalent à (3) soit à :

$g^{\prime\prime}(x) + 2g^{\prime}(x) + g(x) = h^{\prime}(x) + 2h^{\prime}(x) + h(x)$ (4)

Or d’après (1) le second membre de cette relation vaut x + 3. donc (4) est équivalent à

$g^{\prime\prime}(x) + 2g^{\prime}(x) + g(x) = x + 3$

Autrement dit g est solution de (E').

4. La fonction k est continue sur son ensemble de définition $D_{k}$ qui est égal à $\mathbb{R}$ ; de plus

$\lim_{x\mapsto -\infty}k(x)=-\infty;\lim_{\mapsto +\infty}k(x)=0$

et $\forall x\in D_{k},k^{\prime}(x)=-(x+1)e^{-x}$

$k^{\prime}$ s’annule au point -1 et est > 0 si et seulement si $x + 1 < 0$ c’est à dire $x< -1$ .

Pour que le point $I(0, 2)$ soit un point d’inflexion de la courbe $(C)$ il suffit que k soit deux fois dérivable et qu’au point 0, $k\prime\prime$ ”s’annule en changeant de signe”.

Cela est bien le cas puisque $k^{\prime\prime}(x)=xe^{-x}$ s’annule au point 0, est > 0 ”après 0” et négatif ”avant 0”.

Voici le tableau de variations de k.

T.V de $x \mapsto k(x) = (x + 2)e^{-x}$

et voici la courbe représentative de k

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